高考圓錐曲線中的定點(diǎn)及定值問題(參考版)
2025-04-20 12:58本頁面
【正文】 （2）∵點(diǎn)在拋物線上，且.∴∴，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，代入得，設(shè)，則，所以.18．如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（）求橢圓的方程．（）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）．（）斜率之和為定值．【解析】（1）根據(jù)題意知：，結(jié)合，解得：，∴橢圓的方程為：．從而直線，的斜率之和：．故直線、斜率之和為定值．點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．19．【廣西柳州市2018屆高三畢業(yè)班上學(xué)期摸底聯(lián)考】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.（1）求該拋物線的方程；（2）已知拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.【答案】（1）.（2）【解析】試題分析：(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線方程可求。(2) .試題解析:（1）由題意可知， 令，代入橢圓可得，所以，又，兩式聯(lián)立解得： ， . 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代替，可得， ,所以直線的斜率， 即直線的斜率為定值，其值為. 點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．16．【北京市西城魯迅中學(xué)20162017學(xué)年高二上學(xué)期期中】過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線， ， （在軸的右側(cè)）為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足．（Ⅰ）求曲線的方程．（Ⅱ）若，直線的斜率為，過， 兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處共同的切線，求圓的方程．（Ⅲ）分別過， 作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證： 與均為定值．【答案】(1) (2) (3)見解析【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得曲線為拋物線，根據(jù)基本量可得其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，則得圓心與A連線的直線方程，設(shè)圓一般式方程，利用三個(gè)條件解方程組得圓的方程．（3）設(shè)， ， ，則利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，同理可得，即得兩根為，利用韋達(dá)定理化簡直線AB斜率得，即得AB方程為，因此，再根據(jù)向量數(shù)量積可計(jì)算得=0由，得， ．∵，即，．∴拋物線在點(diǎn)處切線的斜率．∴圓的方程為，整理得．（Ⅲ）設(shè)， ， ，過點(diǎn)的切線方程為，即，同理得，∴， ，又∵，整理得，∴與均為定值．點(diǎn)睛：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．17．【南寧市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（l）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.
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