圓錐曲線解答題專題三：面積問題(解析版)(參考版)
2025-04-03 02:57本頁面
【正文】 廣西梧州市高三其他模擬（文））已知橢圓：過點，點為其上頂點，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）設為第四象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求點的坐標，根據(jù)求橢圓方程；（2）首先設點，利用點的坐標表示點的坐標，并利用四邊形的對角線表示四邊形的面積，化簡為定值.【詳解】（1）由題意，設直線：，令，則，故橢圓的方程為.（2）設，且，又，所以直線：，令，則.直線：，令，則.所以四邊形的面積為，所以四邊形的面積為定值.【點睛】方法點睛：解決定值、定點的方法（1）從特殊入手，求出定值、定點、定線，再證明定值、定點、定線與變量無關；（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量是此類問題的特點，設而不求的方法、整體思想和消元思想的運用可以有效的簡化運算.7.（2021江西新余市高三期末（理））橢圓C：的左、右焦點分別為F，過向圓：引切線F1T（T為切點），切線F1T的長為，且橢圓的離心率為，（1）求橢圓C的方程；（2）設為圓上的動點，O為坐標原點，過F2作OM的平行線，交橢圓C于G，H兩點，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用勾股定理求出，得，根據(jù)離心率求出，根據(jù)的關系式求出可得橢圓C的方程；（2）設，直線GH的方程為x＝my＋2，聯(lián)立直線與橢圓方程，由弦長公式求出，根據(jù)點M到直線GH的距離等于原點O到直線GH的距離求出三角形的高，再求出的面積關于的函數(shù)關系式，然后換元，利用對勾函數(shù)的單調性可求得最大值.【詳解】（1）連接T，則F1T⊥T，由題意得，∴c＝2.∵，則a＝3，故橢圓C的方程為；（2）設，直線GH的方程為x＝my＋2，由可得，則，.∴.∴.因為，所以點M到直線GH的距離等于原點O到直線GH的距離，距離為，故△MGH的面積為. 因為，所以直線：，即，∵點為圓上的動點，所以點到直線的距離，解得，令，則，所以，∵在上單調遞增，∴當t＝2時，取得最小值，其值為12，∴△MGH的面積的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：利用弦長公式和點到直線的距離公式求出MGH的面積關于的函數(shù)關系式是解題關鍵.5.（2020全國高三專題練習）已知拋物線()上點處的切線方程為.（1）求拋物線的方程；（2）設和為拋物線上的兩個動點，其中，且，線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得,再根據(jù)切點在切線上,解方程組得；（2）設線段中點，根據(jù)斜率公式得，根據(jù)點斜式得線段的垂直平分線方程,解得坐標,利用點到直線距離公式得高,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達定理以及弦長公式得底長,根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關系,最后根據(jù)均值不等式求最值【詳解】（1）設點，由得，求導得，∵拋物線上點處的切線斜率為，切線方程為，∴，且，解得，∴拋物線的方程為；（2）設線段中點，則，∴直線的方程為，即，∴過定點，即點的坐標為，聯(lián)立，得，設到的距離，∴，當且僅當，即時取等號，∴的
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