圓錐曲線解答題專題四：證明問題、存在性問題(解析版)(參考版)
2025-04-03 03:29本頁面
【正文】 全國高三其他模擬）已知橢圓的左焦點，點在上，過的直線與交于，兩點.（1）求的標準方程；（2）當時，求直線的方程；（3）已知點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）由，再把已知點坐標代入方程可求得，得橢圓方程；（2）驗證斜率為0的直線不合題意，直線的斜率不為0，設直線，設點，直線方程代入橢圓方程，整理后應用韋達定理得，由向量的數(shù)乘運算得與的關系，結合可求得參數(shù)，得直線方程．（3）記直線，的斜率分別為，計算，代入（2）中的，得為0，得是的平分線，從而可得結論．【詳解】解：（1）根據(jù)橢圓的左焦點，得.由點在上，得.又，所以，故的標準方程為.（2）當直線的斜率為0時，易知或，不符合題意，故直線的斜率不為0，設直線，把代入，得，設點，則，.因為，所以，即，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即.（3）由題意得直線的斜率不為0.由（2）知，記直線，的斜率分別為，則.由，得.而，故，所以是的平分線，故點到直線，的距離相等所以以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.【點睛】關鍵點點睛：解決直線與橢圓的位置關系問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元?化簡，然后利用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題，本題第（3）問求解的難點是考生能否將要證的問題轉(zhuǎn)化為證明是的平分線，進而想到利用直線，的斜率之和為0來求解問題.。山東淄博市高三一模）已知，是橢圓：長軸的兩個端點，點在橢圓上，直線，的斜率之積等于.（1）求橢圓的標準方程；（2）設，直線方程為，若過點的直線與橢圓相交于，兩點，直線，與的交點分別為，并說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）由在橢圓上得到，然后根據(jù)直線，的斜率之積等于，由求解.（2）當該直線的斜率不存在時驗證即可,當該直線的斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設，根據(jù)，三點共線，求得，同理求得，進而得到N的坐標，再利用斜率公式求解.【詳解】（1）由已知：，因為在橢圓上，直線，的斜率之積等于，所以，解得：，又，所以，所以橢圓的標準方程為，（2）設，為過點的直線與橢圓的交點，①當經(jīng)過點的直線斜率不存在時，此時，為橢圓長軸端點，不妨設，因為，三點共線，坐標為，同理坐標為，此時線段的中點為，所以，②當該直線的斜率存在時，設該直線的方程是，聯(lián)立方程得：，消元并化簡得：，所以，設，因為，三點共線，即，所以，由已知得，點不在直線上，且，所以，同理可得，所以，,將，代入上式并化簡得：，所以的坐標為，當時，直線的斜率，因為與的取值無關，所以，即，此時.綜合①②可知：存在使得直線的斜率為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．7.（2021湖南長沙市雅禮中學高三月考）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓長軸兩個端點間的距離與兩個焦點之間的距離的差為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）過點作直線l交C于P?Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定點.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，即可求得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）當直線l不與x軸重合時，可設直線l的方程為：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得的表達式，代入所求，化簡整理，即可得結果；當直線l與x軸重合時，可求得P，Q坐標，可得的表達式，經(jīng)檢驗符合題意，綜合即可得答案.【詳解】（1）由題意得：，解得，又，所以橢圓C的方程為：.（2）當直線l不與x軸重合時，可設直線l的方程為：，聯(lián)立直線與曲線方程，整理得：，則，假設存在定點，使得為定值，則=.當且僅當，即
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