圓錐曲線解答題專題四：證明問題、存在性問題(解析版)-閱讀頁
2025-04-03 03:29本頁面
【正文】 否存在點，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合，可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，進而求出直線與的斜率之積為定值以及的值．【詳解】（1），設(shè)，則，由，得結(jié)合，得；由得代人，解得，所以故橢圓的方程為（2）由已知直線過點，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組消去得，所以設(shè)則又直線與斜率分別為則要使為定值，則有即，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以存在點，使得直線與的斜率之積為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問題，解決本題的關(guān)鍵點是聯(lián)立直線與橢圓方程，并利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出直線與的斜率之積，利用比例關(guān)系得出的值以及為定值，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．2.（2021陜西咸陽市高三一模（理））設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線與過點的直線相交于，兩個點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試判斷在軸上是否存在點，使得直線和直線關(guān)于軸對稱．若存在，求出點的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，．【分析】（Ⅰ）由題意設(shè)直線，設(shè)，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，的值，利用，即可得證；（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的點，設(shè)，根據(jù)題意，可得，根據(jù)P，Q，T坐標(biāo)，表示出，化簡整理，即可得答案.【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，過點T的直線不與x軸平行，故設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立，消去得，∴，． ∴，∴，∴，即． （Ⅱ）假設(shè)存在這樣的點，設(shè)，由（Ⅰ）知，由和關(guān)于軸對稱知， 又．解得，即存在這樣的點．【點睛】解題的關(guān)鍵是將兩直線關(guān)于軸對稱，等價為，根據(jù)斜率關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解，考查計算化簡的能力，屬中檔題.4.（2020陜西寶雞市高三一模（理））已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點.（1）若，求的面積.（2）已知圓，過點作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點分別為，求證直線也與圓相切.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）聯(lián)立方程組，求出弦長，點到直線的距離代入面積公式即可求解；（2）設(shè)過點P的直線方程為，求出點的坐標(biāo)，求出直線DE，利用圓心到直線的距離等半徑即可求證.【詳解】(1）拋物線的焦點為F(1,0)，設(shè)，把方程代入拋物線，可得，,點F到直線的距離，（2）設(shè)過點P的直線方程為，由直線與圓M相切得，可得 ，設(shè)切線的斜率分別為，則，把代入拋物線方程可得,則4，是方程的兩根,可得,同理.則有，直線DE： 即為則圓心到直線DE的距離為，由，代入上式，化簡可得，所以直線與圓相切.【點睛】方法點睛：證明直線與圓相切，求出直線的方程，圓心和半徑，利用點到直線的距離求出圓心到直線的距離，化簡求值等于半徑即可.6.（2021北京高三期末）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點和點，過點的動直線交橢圓于兩點（在左側(cè)），試討論與的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），理由見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率和橢圓上一點的坐標(biāo)結(jié)合可解得得橢圓方程．（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為，由直線與橢圓相交得，說明斜率存在，若（或）可得，直線與橢圓相切，不合題意，然后計算得，從而可判斷題中兩角相等．【詳解】（Ⅰ）由已知， 又，解得. 所以橢圓的方程為. （Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為，設(shè).聯(lián)立消去，得，則，解得. （*）則，. 若，則，與（*）式矛盾，所以.同理.所以直線和的斜率存在，分別設(shè)為和. 因為所以.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題．解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)為，斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，解題關(guān)鍵是把代入計算出結(jié)果后，得出角的關(guān)系（解題時注意說明是在在的）．8.（202118
語文相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1