20xx-20xx備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—二次函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及詳細(xì)答案(參考版)
2025-03-30 22:25本頁面
【正文】 =，∴AP=，PM=RM=，∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣，），∴PA+PC+PG的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問題；壓軸題．15．空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【答案】（1）利用舊墻AD的長為10米．（2）見解析.【解析】【分析】（1）按題意設(shè)出AD，表示AB構(gòu)成方程；（2）根據(jù)舊墻長度a和AD長度表示矩形菜園長和寬，注意分類討論s與菜園邊長之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）設(shè)AD=x米，則AB=米依題意得，＝450解得x1=10，x2=90∵a=20，且x≤a∴x=90舍去∴利用舊墻AD的長為10米．（2）設(shè)AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50時(shí)，S隨x的增大而增大當(dāng)x=a時(shí)，S最大=50aa2②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得S=，a≤x＜50+當(dāng)a＜25+＜50時(shí)，即0＜a＜時(shí)，則x=25+時(shí)，S最大=（25+）2=，當(dāng)25+≤a，即≤a＜50時(shí)，S隨x的增大而減小∴x=a時(shí)，S最大==，綜合①②，當(dāng)0＜a＜時(shí)，（）=＞0＞，此時(shí)，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米當(dāng)≤a＜50時(shí)，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，圍成長和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；當(dāng)≤a＜50時(shí)，圍成長為a米，寬為（50）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際應(yīng)用為背景，考查了一元二次方程與二次函數(shù)最值的討論，解得時(shí)注意分類討論變量大小關(guān)系．?！郠C==，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等邊三角形，∴∠APM=60176?！唷螿GO=90176。AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30176。后交y軸于點(diǎn)G，連接CG，如圖2，P為△ACG內(nèi)以點(diǎn)，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR①求證：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M（，）；（3）①證明見解析；②PA+PC+PG的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，）．【解析】試題分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線即可解決問題．（2）首先求出A、C、D坐標(biāo)，根據(jù)BE=2ED，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，求出直線CE，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M．（3）①欲證明PG=QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí)，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵拋物線過A、B兩點(diǎn)，∴，解得：，∴b=﹣2，c=3．（2），對于拋物線，令y=0，則，解得x=﹣3或1，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0），∵AD=DC=2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣1，0），∵BE=2ED，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，1），設(shè)直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，∴直線CE為，由，解得或，∴點(diǎn)M坐標(biāo)（，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60176。②，求出的最大值并確定運(yùn)動(dòng)速度時(shí)間的值；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)2，10；(2)①；②當(dāng)時(shí)，取最大值.【解析】【分析】（1）由題意可知圖像中0~，M在AB上運(yùn)動(dòng)，求出速度，~，M在BC上運(yùn)動(dòng)，求出BC長度；（2）①分別求出在C點(diǎn)相遇和在B點(diǎn)相遇時(shí)的速度，取中間速度，注意C點(diǎn)相遇時(shí)的速度不能取等于；②過M點(diǎn)做MH⊥AC，則 得到S1，同時(shí)利用=15，得到S2，再得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值【詳解】(1)5247。)，S與t的函數(shù)關(guān)系如圖②所示：(1)直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為 ，BC的長度為 。時(shí)，△BOQ2∽△DOB，∴，即，∴OQ2＝，即Q2（0，）；③如圖，當(dāng)∠AQ3B＝90176。【答案】解：（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）.【解析】【分析】（1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解.（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線y=x與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)P在第二象限的限定條件.（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論，找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐標(biāo)是（3，0）．∵A為頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析為y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴當(dāng)∠POB＝∠POC時(shí)，△POB≌△POC，此時(shí)PO平分第二象限，即PO的解析式為y＝﹣x．設(shè)P（m，﹣m），則﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝（m＝＞0，舍），∴P（，）． （3）①如圖，當(dāng)∠Q1AB＝90176。（3）將直線向下平移，與二次函數(shù)圖像交于兩點(diǎn)(在左側(cè))，如圖2，過作軸，與直線交于點(diǎn)，過作軸，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+2，2﹣2，2；（3）M（
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