【正文】 對基礎(chǔ)較弱班級的學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)和總結(jié)，我一開始是讓學(xué)生先仔細(xì)羅列近階。因為，原來成績較差的班級成績提高了，對原比這個班成績好的班級，無形中是一個有力的促進(jìn)。近幾年，作為分管教學(xué)的副校長，我?guī)缀趺扛粢粌赡昃驼{(diào)任一個新班級任課，主要是選擇基礎(chǔ)較弱、有時干脆就是選擇數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最弱的班級進(jìn)行任教。、8 、錯誤矯正法對于大多數(shù)基礎(chǔ)比較薄弱的同學(xué)來說，復(fù)習(xí)總結(jié)的最主要任務(wù)，還是理清最基本的概念，糾正在新授課學(xué)習(xí)、考試評估中所出現(xiàn)的問題，基礎(chǔ)問題不解決，“雙基”不牢，其它的一切只能免談。３、由學(xué)生提供的、來自四面八方的信息，不但豐富了學(xué)生的閱讀面、知識面，也擴(kuò)大了教師的知識面和視野，實現(xiàn)了師生的共同成長，實現(xiàn)了一著多贏?。?、教材內(nèi)外知識的相互補(bǔ)充，讓學(xué)生感到學(xué)得活，有意思，反過來再看教材，常常有了一種居高臨下的感覺，同時又感到現(xiàn)有教材實際上是緊緊抓住了相關(guān)知識的最本質(zhì)的東西，基礎(chǔ)不能或視。２、無意中實現(xiàn)了寓研究性學(xué)習(xí)的培養(yǎng)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)和總結(jié)之中，如有的同學(xué)很高興地認(rèn)為，他發(fā)現(xiàn)的一個題目是一個有新意的題，一但公布以后，大家發(fā)現(xiàn)實際上就是課本某道例題或作業(yè)的一個翻版，教室里會發(fā)出一點點笑聲。大家都有發(fā)現(xiàn)，幾次討論你都沒有上交有新意的內(nèi)容，說明自己的主動學(xué)習(xí)的積極性不強(qiáng)，對相關(guān)同學(xué)多多少少會有些促進(jìn)。３、根據(jù)上述結(jié)果，對課本、教材，教師的講解，進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容和解題方法的補(bǔ)充。具體的做法是：１、預(yù)先或在章節(jié)內(nèi)容結(jié)束前，布置學(xué)生搜集其它參考資料和課外書籍中，有關(guān)本章節(jié)內(nèi)容的有新意的習(xí)題、值得向大家介紹的東西，特別是教師在課堂教學(xué)中沒有涉及、課本教材沒有涉及的內(nèi)容。我想，有時我所教的學(xué)生數(shù)學(xué)高考成績略好些，可能立體幾何這一節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生掌握的好些功不可沒。而了解其它班的同學(xué)，好象立體幾何題是高考時比較容易失分的內(nèi)容。“幾何作圖、位置關(guān)系判斷證明有計巧，作線不離面，離面不好找”；“線面關(guān)系常用線，線線關(guān)系常找面，面面關(guān)系線與線”；幾何計算有步驟，“圖示條件，作所求量，構(gòu)三角形，解三角形”，“十六字方針”給步驟，逐步深入肯定夠！諸如此類的一些簡捷實用的教學(xué)總結(jié)性俗語，老師在課堂上講過以后，在解決實際問題時，再有意識到地進(jìn)行不斷驗證和重復(fù)，讓學(xué)生在實踐中、作業(yè)過程中、去不斷地總結(jié)、豐富和驗證，常常會有意想不到的教與學(xué)收獲，不謙虛地說，在同年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我所教的同學(xué)立體幾何部分的知識，通常掌握的比較好些。一線和一點（線外）定一面，兩線（平行或相交）定一面，兩面相交有一線，三面以上圍成體（我在立體幾何的教學(xué)中有一個觀點，認(rèn)為立體幾何實際上是多個平面或平面的一部分圍起來的幾何問題。學(xué)生學(xué)完課本的基本內(nèi)容以后，可以運用知識的主線，將整本立體幾何教材的知識點：定義、定理、判定、性質(zhì)、主要運用等，編寫成一組提綱，可以形成一種清晰的網(wǎng)絡(luò)：主線：點、線、面、體及其相互關(guān)系。前面的畢業(yè)生，為后面的學(xué)弟、學(xué)妹們留下了豐富的知識寶庫。對學(xué)生提出來的有價值的內(nèi)容，我會讓學(xué)生署名抄寫給我，并注明來自何處，收入我的教學(xué)資料，我戲稱此法為“全班同學(xué)來為老師備課、增添了老師的知識財富。實踐起來，學(xué)生有時會提出許多有意義的建議，比如不止六種題型，有十種題型等等，有時，同學(xué)們?yōu)榱俗C明自己的論點是正確的，常常會舉出許多課本以外的好例題，這時候老師讓他在班級展示出來，學(xué)生們會特別地關(guān)注，也能擴(kuò)大全班同學(xué)的知識面和閱讀視野。如，本章節(jié)、本單元的數(shù)學(xué)教與學(xué)的主要內(nèi)容共有：一個內(nèi)容，兩種關(guān)系、三條定理、四種判定、五種應(yīng)用，六種題型、七個補(bǔ)充等等。有過高中教學(xué)經(jīng)歷的教師都知道，進(jìn)入高一以后，學(xué)生一開始感到學(xué)習(xí)最困難的學(xué)科、學(xué)習(xí)壓力最大的學(xué)科，常常就是數(shù)學(xué)和物理，而數(shù)學(xué)的函數(shù)這一章，正是學(xué)生感到很難學(xué)好的內(nèi)容，請老師和正在學(xué)習(xí)的同學(xué)按此框架試試看，我自己的教學(xué)實踐證明，對不同層次的學(xué)生實驗，都是很實用、很有效益的。函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就整體達(dá)到了一個相當(dāng)高的水準(zhǔn)。比如，高中的函數(shù)部分學(xué)習(xí)，對于每一種函數(shù)，我們大致研究了這樣十個方面的內(nèi)容：定義域、值域、函數(shù)式、圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、極值、實際問題的應(yīng)用等。如果教師自己有相關(guān)類比內(nèi)容復(fù)習(xí)、總結(jié)的多媒體課件，只要再次進(jìn)行一次快速地播放，對照有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行一些指點、引領(lǐng)，就能很快地指導(dǎo)學(xué)生對剛學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)和總結(jié)。用學(xué)生中的優(yōu)秀成果展示，讓學(xué)生看得見、摸得著、學(xué)得象，能讓一些優(yōu)生積極地影響其它同學(xué)、帶動其它同學(xué)，長期堅持，可以有效地提高全體同學(xué)的學(xué)習(xí)品質(zhì)和素質(zhì)。其整理出來的結(jié)果雖然各不相同，但教師可以在學(xué)生復(fù)習(xí)和總結(jié)的基礎(chǔ)上，巧妙地進(jìn)行結(jié)果的檢查和評獎。根據(jù)每單元、每章節(jié)的不同內(nèi)容，教師可以采取靈活機(jī)動的各種方法加以指導(dǎo)。有經(jīng)驗的教師，在平時的教育教學(xué)工作中，總是十分注意充分調(diào)動學(xué)生的積極性。鑒于以上認(rèn)識，我認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要讓學(xué)生充分地“動”起來（本書后面有專門分析的文章）。因為它浪費了學(xué)生的寶貴時間，說不定還會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和聽課習(xí)慣。在新課程改革理念下，不但教學(xué)工作要以學(xué)生為主體，課程的評價、教學(xué)效益的評價更是要以學(xué)生為主體。特別的技巧如果是非常重要的內(nèi)容和方法，那就要有意識地創(chuàng)造機(jī)會，與學(xué)生在一起經(jīng)常地“把玩”，才能達(dá)到熟能生巧的地步。４、對特別題型的解法和特別解法的技巧，不能僅僅是驚嘆和佩服，要學(xué)會在特殊性的當(dāng)中，盡可能地挖掘其普遍性、共性的東西。２、根據(jù)范例分析，如果條件或結(jié)論改變了怎么辦？條件和結(jié)論可能會有哪些改變？由條件到結(jié)論的推導(dǎo)和計算的過程，你認(rèn)為是否合理、是否自然、是否必然？如你能感到：由條件到結(jié)論自然而然地就應(yīng)該這樣想，那說明你已經(jīng)基本正確掌握了這樣的題型。個人在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)過程中或過程后的題型總結(jié)時，有一個原則：看到典型的范例，必須引起學(xué)生自己足夠地反思以后再進(jìn)行總結(jié)。而對數(shù)學(xué)題型的廣泛搜集和歸納，必須建立在學(xué)生的廣泛閱讀和主動性學(xué)習(xí)上?！睌?shù)學(xué)的概念、定理、性質(zhì)的理解和應(yīng)用，常常以問題的形式來體現(xiàn)，數(shù)學(xué)教與學(xué)的效果檢測和評估，通常也是利用學(xué)生解題的正確率來分析。 題型凝練法高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，離不開對問題的研究。在平面解析幾何中，圓錐曲線的部分，有統(tǒng)一的定義，也有分項的軌跡定義，還有一些幾何作圖的表述。如果再加上三角函數(shù)中最易出現(xiàn)錯誤的三角函數(shù)名稱和“符號問題”的研究方法：針對(k實踐中，老師不需要直接地給予，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，自己進(jìn)行摸索，老師在學(xué)生完成復(fù)習(xí)總結(jié)后，再在班級進(jìn)行一下結(jié)果的評比，學(xué)生會感到樂此不疲。sinB”“派生”出來。sinB”就是三角函數(shù)中最重要的基礎(chǔ)“母”公式，其它公式，只要賦給Ａ、Ｂ角的一定量的值，如令Ｂ＝Ａ可得二倍角公式，反之又可得到半角公式等等，如再加上考慮符號的變換，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)臄?shù)式變形，幾乎是所有的三角函數(shù)公式，都可以由這一公式“cos(A+B)=cosA比如，在三角函數(shù)的公式體系推導(dǎo)中，我個人認(rèn)為兩角和的余弦公式：“cos(A+B)=cosA圖表總結(jié)法數(shù)學(xué)概念、知識和方法的特點之一就是邏輯關(guān)系特別嚴(yán)謹(jǐn)，前后相關(guān)的聯(lián)系特別清晰，如果在教與學(xué)的過程中，學(xué)生能在教師的指導(dǎo)下，將所學(xué)概念、公式等，制成相關(guān)的圖表，形成知識的網(wǎng)絡(luò)體系、網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)圖，就能讓知識形成一種“知識鏈”，讓知識在學(xué)生的記憶和運用中，由此及彼、由表及里，承上啟下、相輔相成，形成多種關(guān)系和角度的相互關(guān)聯(lián)、形成多角度的交叉記憶，提高記憶的準(zhǔn)確性和效率?？傮w上講，在概念總結(jié)時不能依賴于簡單的機(jī)械抄錄和記憶，數(shù)學(xué)中僅僅是機(jī)械的記憶一些概念和公式，沒有深刻地理解，在解決問題時，特別是在解答概念的是非判別題時，常常會產(chǎn)生錯誤。３、提綱挈領(lǐng)地寫出概念的“關(guān)鍵詞”，通過記住概念的“關(guān)鍵詞”，由“關(guān)鍵詞”引領(lǐng)，促進(jìn)對概念和方法的理解和掌握。如果喜歡抄錄整理，最好是先看一遍，然后帶有默寫性質(zhì)地抄錄，默寫后再校對，非常有利于記憶。當(dāng)然學(xué)習(xí)效率不是太高。開始時我也感到納悶，說不清是什么原因。這些孩子很聽話，她們有的將書中的概念很認(rèn)真地抄錄在一個很好看的筆記本上，還拿給我看過。但是，實踐中我們可以發(fā)現(xiàn)，教師在課堂上羅列、復(fù)述，許多學(xué)生聽得好象有點東耳進(jìn)、西耳出，根本不入腦；學(xué)生自己簡單的抄錄、總結(jié)，效果也很不樂觀。數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)和總結(jié)，為什么不能借鑒這位老師的創(chuàng)意呢？受其啟發(fā)，我在數(shù)學(xué)實踐中也做了一些嘗試。在此序列下，讓學(xué)生再讀幾遍這幾篇文章看看，找一找這些內(nèi)容，看魯迅是如何將這些內(nèi)容，巧妙地串成一篇篇優(yōu)美文字的。《祝?！芬晃臑椋阂粋€回憶、兩到魯鎮(zhèn)、三次描寫、四場祝福、五類人物。后來再有意識地找來魯迅的這幾篇文章，自己再讀一讀，竟然有了一種與以前完全不同的全新印象，對魯迅這幾篇作品的理解和記憶，明顯有了提高。他舉例所講的是魯迅作品的學(xué)習(xí)、分析和總結(jié)。數(shù)學(xué)教與學(xué)就是要達(dá)到將所學(xué)知識“能科學(xué)地運用材料”的境界。指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，可以實現(xiàn)師生雙方互贏！二、復(fù)習(xí)總結(jié)篇數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，適時地進(jìn)行復(fù)習(xí)和總結(jié)（這里不包括目前高中數(shù)學(xué)新課程結(jié)束后，高三年級的系統(tǒng)復(fù)習(xí)和總結(jié)），是將每節(jié)課堂教學(xué)中零零散散的所學(xué)知識點和方法，進(jìn)行歸納整理，使知識串成線、鋪成面、裝入腦、提能力的教學(xué)工作重要環(huán)節(jié)。四個月后的高考，兩個班級的數(shù)學(xué)成績，非但沒有受到影響，反而比原來還有些提高。當(dāng)時也是一種“死馬當(dāng)作活馬醫(yī)”，不是辦法的辦法。（具體完成哪幾題練習(xí)和作業(yè)）４、摘錄或完成參考書中的好題，在班級板書作介紹。２、找出暫時不能理解的內(nèi)容，準(zhǔn)備課堂上提交老師講解。（一）、教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)自學(xué)（其它學(xué)科理應(yīng)相似），任務(wù)、要求要明確一些，便于學(xué)生執(zhí)行和考核。有時因突擊性的行政工作或參加會議，難免會有缺課現(xiàn)象。因為高中學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)是比較重的，他們的手中幾乎有做不完的事，哪一項任務(wù)的要求，他們認(rèn)為松一些，他們就會自覺不自覺地選擇放棄。如果您在布置以后，第二天檢查一下，很可能就會發(fā)現(xiàn)，老師前面的要求，許多同學(xué)根本沒有落實?！笔切抡n程理念對當(dāng)今中小學(xué)教師的教育教學(xué)工作提出的新的要求。經(jīng)過一番討論，甚至是爭論，學(xué)生對平面幾何與立體幾何知識的聯(lián)系和區(qū)別有了比較好的理解，相關(guān)立體幾何的知識和概念也順利得到了鞏固。７、一個三角形的三個頂點到一個平面的距離相等，那么，這個三角形所在的平面必平行于這個平面。５、一條直線上有兩不同點到另一條直線的距離相等，那么，這兩條直線平行。３、垂直于同一條直線的兩條直線必然平行。如何將學(xué)生可能出現(xiàn)的“負(fù)遷移”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢w移”，我曾經(jīng)設(shè)計過這樣一些問題與學(xué)生一道探索：判斷下列命題是否正確，如不正確，試舉出反例：１、垂直于同一條直線的兩條直線不可能是異面直線。同理，已學(xué)知識對新知識的學(xué)習(xí)，有時也會不知不覺地起著一些消極的作用，這在心理學(xué)中稱之為知識的“負(fù)遷移”，要特別注意對知識的“負(fù)遷移”的甄別，“負(fù)遷移”在概念教學(xué)和解題教學(xué)中，可能造成學(xué)生的概念不清、解題錯誤，教師如果能將學(xué)生容易混淆的概念、似同非同，似是而非的問題編成題組，與學(xué)生共同討論甄別，既可以加深對已有知識的鞏固，又可幫助對新知識的理解。tan２BtanB（理科講授反三角函數(shù)時，同樣可以類比）。９、巧用遷移法已學(xué)知識對新知識的學(xué)習(xí)，隨時隨地、不知不覺地會起著多方面的作用，其中積極的、促進(jìn)性的作用，在心理學(xué)中稱之為知識的“正遷移”，在概念教學(xué)和解題教學(xué)中，教師如果能將學(xué)生需要解決的新問題與學(xué)生過去已經(jīng)熟練的問題組成對比題組，可以促進(jìn)學(xué)生對新知識的正遷移。例如，在討論有關(guān)曲線的對稱性問題時，一開始師生共同討論了曲線y=f (x)　關(guān)于原點對稱的曲線是y= －f(－x)，關(guān)于Ｘ軸對稱的曲線是y=－f (x)，關(guān)于Ｙ軸對稱的曲線是y= f (— x)，關(guān)于直線y=x對稱的曲線是x= f (y)（可聯(lián)系復(fù)習(xí)反函數(shù)的曲線對稱性質(zhì)）?！睂W(xué)生對出錯的地方和知識的印象深，記憶牢，有助于避免易錯處出錯，準(zhǔn)確記憶知識的關(guān)鍵概念。設(shè)計一些模棱兩可、甚至一些誘發(fā)學(xué)生思維暫時產(chǎn)生錯誤的問題，在師生討論中得到甄別和認(rèn)識，然后獲得正確結(jié)果，顯然較之教師在教學(xué)中直接地給出正確的結(jié)論，讓學(xué)生記憶要牢固的多。８、討論歸納法學(xué)生中蘊藏著無窮的智慧閃光點和創(chuàng)造性，數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，注意捕捉學(xué)生智慧的閃光點，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，常常能實現(xiàn)教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快。但師生們的共同討論，實現(xiàn)了皆大歡喜，聽課的老師們也很體諒，認(rèn)為這節(jié)課不是花架子，很實在，在聽課反饋意見表中，給出了非常好的評價。后來，我還是硬著頭皮與學(xué)生一道研究了宣同學(xué)的這一插嘴提問，經(jīng)過師生共同探索，在正方體內(nèi)的確沒有成３０度角的異面直線對，但有成正弦值是三分之一的異面直線對。但教室內(nèi)的氣氛肯定受影響，因為我平時上課就喜歡并提倡學(xué)生隨時提問，經(jīng)常在學(xué)生的提問下改變自己的安排，學(xué)生已經(jīng)習(xí)以為常了。您說，幾乎所有的教材和參考書上都沒有講到過這一個問題，我課前的準(zhǔn)備上也沒有準(zhǔn)備到這一個問題，這讓我怎么說？聽課的老師們估計也感到了我的措手不及。正當(dāng)我非常高興同學(xué)們的研究學(xué)習(xí)成果是那樣地配合我的公開課教學(xué)時，一個姓宣的同學(xué)在下面低低地說到：“０度、４５度、６０度、９０度，好象常見的特殊角都在這個正方體中出現(xiàn)了，３０度也是特殊角，為什么大家都沒有找到呢？會不會出現(xiàn)呢？”教室里頓時嘰嘰喳喳起來?！∵€有一個同學(xué)說有１２０度，同學(xué)們又笑了起來，“成１２０度角的兩條異面直線，實際上就是成６０度角的兩條異面直線，１２０度角不在兩條異面直線所成角的范圍內(nèi)。為了引起學(xué)生的興趣，也適當(dāng)?shù)卦诠_課上進(jìn)行一點點研究性學(xué)習(xí)的探索，我出了一道簡單的立體幾何問題：在一個正方體中，尋找正方體的棱、面對角線、體對角線所組成的異面直線對，并求出兩異面直線所成角的度數(shù)。特別是想象和猜想的驗證成功，能激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維想象能力和大膽的想象創(chuàng)造能力，對學(xué)生的思維習(xí)慣和終身發(fā)展都有一定的影響，是一件十分有意義的事。如果師生的想象、猜想，能夠通過邏輯推理、數(shù)式運算進(jìn)行驗證，那么，想象和猜想就是理性的、符合邏輯的、正確的。7 、猜想驗證法數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。（說明：本例可抽取其中任何一種零點個數(shù)情況，編寫成一道很好的字母k的取值范圍填空題）本例中根據(jù)圖２分析，不但可以判斷零點的個數(shù)，而且還可以進(jìn)一步