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點亮師生智慧的心燈(編輯修改稿)

2025-01-17 03:17 本頁面
 

【文章內容簡介】 不但有文字敘述語言,而且有數(shù)式語言、幾何語言和圖象直觀顯示語言等等。實際上,數(shù)學知識進入高中階段以后,集合有維恩圖,函數(shù)有圖象曲線;三角函數(shù)有三角函數(shù)曲線,數(shù)列有點列(直線或曲線上的離散點),復數(shù)有復平面上的表示與變換,至于立體幾何、解析幾何、空間向量等,本身就是幾何圖形的研究,更是離不開對圖象的分析。所以說,高中數(shù)學的內容本身就決定了數(shù)學的教與學有條件,甚至離不開對圖象的分析。這就為數(shù)學的教與學采用“數(shù)形結合法”創(chuàng)造了獨辟蹊徑的條件。例如,在講授了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和圖象性質以后,我安排了以下師生共同研究性學習的問題:1、設函數(shù)y=f(x)的定義域為實數(shù)集,它的圖象關于直線x=1對稱,且當x≥1時,f(x)=-1,請按從小到大的順序排列f(1/3), f( 2/3 ), f( 3/2 )。分析:方法一,本例可以根據題目的條件信息,先求出時的具體函數(shù)y=f(x),然后分別代入三個自變量,分別求出三個函數(shù)值,進而比較大小,但求出函數(shù)容易出錯,而且不如方法二形象直觀。┣┣┣┣21111(2, 8)(1, 2)2468O┻方法二,利用對稱性,畫出y=f (x)的圖象(見上圖),由對稱性可知:f( 3/2 )=f( 1/2 ).三個數(shù)的大小顯而易見:f(1/3)>f( 3/2 )>f( 2/3 )。  設a、b、c均為正數(shù),且2a= ,()b=, ()c =請按從小到大的順序排列a、b、c分析,本例中三個方程,左邊是指數(shù),右邊是對數(shù),屬于超越方程,根據中學現(xiàn)有數(shù)學知識,學生很難求出具體的字母數(shù)值,但分別畫出每一組指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象,我們可以直觀地看到,三組函數(shù)圖象的交點分別在不同的范圍內(以橫坐標分析,依次為左、中、右三點)所以我們可以直觀地得出a、b、c三個數(shù)的大?。憨擤擤擤擤签签签签擤?321cab11O1234()()..(2, 1)(2, 1)與此同時,也要提醒同學,由于作圖的不規(guī)范,特別是立體幾何的圖形由于觀察的角度不同,可能會給我們一些錯覺,明明是兩條異面直線,可能會給人一種似乎平行或相交的感覺。解析幾何或兩個函數(shù)圖象中,明明不相交,看起來卻可能是兩條相交直線等等,這就要我們通過以數(shù)式分析,或邏輯推理來認定。平時利用數(shù)形結合分析時,特別是運用函數(shù)圖象分析時,要盡可能將圖象畫得準確一些,關鍵點更是不能出錯。 溫故知新法高中數(shù)學的教與學,根據學科特點和知識結構,前后內容具有很強的聯(lián)系性,教授新的數(shù)學內容時,注意恰當?shù)芈?lián)系、復習前面所學的內容和知識,有利于認識新舊知識的結構、聯(lián)系和發(fā)展,鞏固已學知識,加深對已有知識的進一步理解和掌握?,F(xiàn)有高中數(shù)學內容,除極個別專題性的章節(jié)內容外,均可采用溫故知新的方法進行教學。運用此法進行教學,可能一開始教學進度慢一點,但及時鞏固已學內容,讓知識承上啟下,有利于學生系統(tǒng)地掌握數(shù)學知識。例如,教學“不等式的解法”時,可以聯(lián)系、對比相應“方程的求解”這一章節(jié)內容,既講清了方程根是確定值,又可講清不等式的解通常是一個范圍,而不等式解的范圍邊界,又與類似方程的根有著緊密的對應關系和聯(lián)系。講解“雙曲線”時,可以聯(lián)系、對比“橢圓”的定義、性質、方程及其討論,對比分析,溫故而知新。特別是橢圓和雙曲線的方程、焦點坐標、準線方程,在字母信息a、b、c中似乎有許多相同點,但實際計算,因為a、b、c的內在關系不同,又有本質的不同。為什么雙曲線有漸近線,而橢圓沒有漸近線?三個字母的運算關系相同點和不同點是什么原因造成的等等。復數(shù)這一章節(jié)的內容,可以說對前面所學高中數(shù)學知識,除立體幾何知識以外,幾乎都可以進行重新整理和覆蓋。復數(shù)的代數(shù)形式a+bi中,如將字母i可以看作一個特別的、具有周期性性質的符號進行計算,可以覆蓋幾乎所有的代數(shù)問題;復數(shù)的三角函數(shù)表達式z=cosa+isina,結合棣莫佛公式,分別進行二項式代數(shù)形式展開和利用棣莫佛公式展開,加上角的賦值方法運用,幾乎可以推導所有的三角函數(shù)公式,不但有效地復習了三角函數(shù)公式和概念,而且給出了一種三角函數(shù)公式、特別是課本內容中沒有提及的二倍角以上倍角公式的推導方法,實踐證明,還有助于長時間的記憶并幫助學生探討、研究三倍角、四倍角等多倍角三角函數(shù)公式的推導;利用復數(shù)模的幾何意義就是兩點間的距離概念,可以根據平面解析幾何中的軌跡定義,對平面解析幾何的所有問題,進行重新討論,對圓錐曲線的概念、公式、基本計算等,從另一個觀察角度給出了一種別開生面的解釋,有很好的促進、加深、鞏固作用。對于新接觸復數(shù)這塊內容的學生,同時又讓其感受到了學習復數(shù)知識的作用和意義,激發(fā)興趣、調動積極性。高中數(shù)學的許多新授課程和內容,采用此法進行教學,能夠讓數(shù)學知識串成線、鋪成面,前后呼應、相輔相成,及時加強鞏固已學知識,引領新學知識,實踐證明效果較好。5 、實驗探索法高中的物理、化學、生物學科,有實驗的要求,有些內容,必須通過實驗教學,才能幫助學生正確理解有關內容和知識點,這是大家所共知的。數(shù)學有沒有可以實驗的內容呢?巧妙設計的數(shù)學實驗,不但能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,而且能優(yōu)化數(shù)學的課堂教學。因為數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學,是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具。數(shù)學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎。新興的科學手段如計算機、多媒體等進入課堂教學,為數(shù)學的部分內容實驗,提供了可行性條件。例如,進入高二年級以后,學生的計算機基礎知識已經具備,函數(shù)的各種圖象、直線與曲線的交點、方程根的存在性、個數(shù)的討論,圓錐曲線的方程與圖象畫法、立體幾何圖形的翻轉等等,教師或學生自主設計有關程序以后,在計算機上進行實驗,能夠起到簡明扼要、直觀清晰的效果。如我在講完橢圓一節(jié)計算機作圖內容以后,提出,將橢圓方程中“加號”作圖程序改寫成“減號”作圖程序以后,看看圖象會不會還是橢圓?會是什么圖象?雙曲線是不是兩支拋物線對稱構成的幾何曲線等等。拋物線與雙曲線的一支,有沒有區(qū)別,為什么雙曲線有漸近線,而拋物線沒有漸近線?通過實驗和邏輯證明的同時映證,可以幫學生加深理解數(shù)學的具體內容。附:在南京市某國家級重點中學公開課講學案一份:冪函數(shù)(1)講學案 班級_______ 姓名____________(20015)一、教學目標:知識與技能:掌握冪函數(shù)的概念,會正確畫出常見冪函數(shù)圖象,了解常見冪函數(shù)性質,能正確利用冪函數(shù)的圖象和性質,解答相關問題。過程與方法:通過觀察、實驗、歸納、探究冪函數(shù)性質。利用解題比賽,培養(yǎng)自主、合作學習的能力,及時反饋教與學效果。情感態(tài)度與價值觀:利用冪函數(shù)的指數(shù)變化,探究冪函數(shù)的性質,調動學生學習積極性。利用數(shù)形結合及多媒體技術,形象直觀地探究冪函數(shù)的指數(shù)與圖象性質的內在聯(lián)系。二、教學重點:冪函數(shù)的概念及常見冪函數(shù)圖象和性質教學難點:常見冪函數(shù)圖象、性質的歸納及應用三、教學過程:(一)、回顧引入:前面我們學過了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。請?zhí)顚懴卤恚汉瘮?shù) 類別函數(shù)式定義域值域指數(shù) 指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)(二)、請看下列問題: 問題一:若正方形的邊長為,面積為,那么=__________ 若正方體的邊長為,體積為,那么=__________ 若正方形的面積為,邊長為,那么=__________冪函數(shù)的定義為:問題二:判斷下列函數(shù)中哪些是冪函數(shù)_____________                                           問題三:寫出下列冪函數(shù)的定義域,并分別指出它們的奇偶性 問題四:(合作探究)試寫出兩到三個符合下列條件的冪函數(shù)________________________ 定義域為一切實數(shù);定義域為正實數(shù);定義域為不等于零的一切實數(shù)問題五:(自主實驗、探究)請畫出幾種熟悉的冪函數(shù)圖象 _問題六:列表歸納常見冪函數(shù)的圖象與性質 性質函數(shù)圖象定義域值域奇偶性x0時函數(shù)的單調性問題七:利用相關冪函數(shù)的性質和圖象比較下列各組數(shù)中兩個值的大小。(在橫線上填“” 或“”) (三)回歸課本:(指導學生看書,摘記重要內容或補充說明)(四)效果檢測反饋( )下列結論正確的是 ( ) A.冪函數(shù)的圖象一定過原點 B.當a0時,冪函數(shù)是減函數(shù)C.當a1時,冪函數(shù)是增函數(shù) D.既是二次函數(shù),又是冪函數(shù)下列函數(shù)中,在(,0)上是增函數(shù)的是( )若冪函數(shù)的定義域分別為M、N、P,則M=______________________, N=____________________, P=____________________(五)本課小結:(另附)(六)作業(yè):P73 第題 四、教與學反思(請同學課后填寫):附:研究性學習:(實驗、探究、分析冪函數(shù)共有多少種類型圖象,以下十一種是否均為冪函數(shù)圖象,如是列出一個代表性冪函數(shù)式,如不是說出理由) (1) (2) (3) (4)。 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)6 、動定分析法在高中數(shù)學內容中,有大量的數(shù)式字母討論題,同時又是高考數(shù)學試卷的命題熱點。分類討論實際上是高中數(shù)學最重要的數(shù)學思想,也是高中數(shù)學與初中以下數(shù)學知識和方法的最明顯不同點,是高中學生在學習和作業(yè)當中的難點和易錯點,更是考生在高考數(shù)學中得分拉開距離的區(qū)分點。如何突破這一教學疑難,實踐中我們的做法是:引導學生根據問題提供的各種信息,在既有等式條件,又有不等式條件時,關注等式條件,從等式條件入手;在字母信息中,從“動”的條件中,特別注意發(fā)掘“定”的隱含條件,由“定”出發(fā),討論“動”的變化。舉例說明如下:例?。ǜ鶕捱w市08年高三模擬試題改編)已知函數(shù)y=f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當x206。[0,1]時,函數(shù)f(x)=x。若在區(qū)間x206。[1,3]內, 存在函數(shù)g(x)=kx+k+1。試根據k的取值情況,討論方程f(x)=g(x)取零點的個數(shù)。分析:本例中函數(shù)y=f(x)實際上是一個確定的信息(等式條件)函數(shù)g(x)=kx+k+1隨著k的變動而變動,是一個動態(tài)的信息。解題分析時,首先可根據確定信息入手,在坐標系上畫出函數(shù)y=f(x)的圖象。因為當x206。[0,1]時,函數(shù)f(x)=x,且y=f(x)是以2為周期的偶函數(shù),我們很容易得到函數(shù) y=f(x) 在x206。[1,3]內的圖象: 再看函數(shù)g(x)=kx+k+1,雖然隨著k的變動,y=kx+k+1是一條變動的直線,但是,將已知式略作變形,可得是一條方程為:y1=k(x+1)“動”中有“定”的直線,此直線恒過定點(1,1)。這就為我們討論本題,提供了簡捷明快的“數(shù)形結合”、“動定相應”分析法。如圖,在上圖中尋找出“動直線”中當 k=0, k = 和 k = 1時的三條“定直線”,這是本例分析的三條關鍵直線,顯然可見:當k=0和k = 時,方程 f(x)=g(x) 有三個零點;當k = 1時,方程 f(x)=g(x) 有無窮多個零點;當1 k 時,方程 f(x)=g(x) 有兩個零點;當 k 0時,方程 f(x)=g(x) 有四個零點;當 k 1或k>0時,方程 f(x)=g(x) 僅有一個零點。(說明:本例可抽取其中任何一種零點個數(shù)情況,編寫成一道很好的字母k的取值范圍填空題)本例中根據圖2分析,不但可以判斷零點的個數(shù),而且還可以進一步判斷出零點的大致范圍。利用“數(shù)形結合”和“動定相應”的分析法,是求解、分析類似問題不可多得的好辦法。7 、猜想驗證法數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學,是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具。有些空間的形式和數(shù)量關系、自然規(guī)律和社會規(guī)律,很難建構具體的數(shù)學模型,這就要求教師在平時教與學的過程中,注意培養(yǎng)學生的想象能力,甚至一定的猜想能力。如果師生的想象、猜想,能夠通過邏輯推理、數(shù)式運算進行驗證,那么,想象和猜想就是理性的、符合邏輯的、正確的。對想象和猜想的驗證過程,又是實實在的思維訓練和數(shù)式推導、計算能力培養(yǎng)的實踐過程。特別是想象和猜想的驗證成功,能激發(fā)學生的興趣,培養(yǎng)學生的思維想象能力和大膽的想象創(chuàng)造能力,對學生的思維習慣和終身發(fā)展都有一定的影響,是一件十分有意義的事。ABC在一次學校對外開放的公開課過程中,當時所教學的內容是兩條異面直線所成角的第三課時。為了引起學生的興趣,也適當?shù)卦诠_課上進行一點點研究性學習的探索,我出了一道簡單的立體幾何問題:在一個正方體中,
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