【文章內(nèi)容簡介】 不但有文字?jǐn)⑹稣Z言，而且有數(shù)式語言、幾何語言和圖象直觀顯示語言等等。實際上，數(shù)學(xué)知識進(jìn)入高中階段以后，集合有維恩圖，函數(shù)有圖象曲線；三角函數(shù)有三角函數(shù)曲線，數(shù)列有點列（直線或曲線上的離散點），復(fù)數(shù)有復(fù)平面上的表示與變換，至于立體幾何、解析幾何、空間向量等，本身就是幾何圖形的研究，更是離不開對圖象的分析。所以說，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容本身就決定了數(shù)學(xué)的教與學(xué)有條件，甚至離不開對圖象的分析。這就為數(shù)學(xué)的教與學(xué)采用“數(shù)形結(jié)合法”創(chuàng)造了獨辟蹊徑的條件。例如，在講授了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和圖象性質(zhì)以后，我安排了以下師生共同研究性學(xué)習(xí)的問題：１、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為實數(shù)集，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝－1，請按從小到大的順序排列f(1/3), f( 2/3 ), f( 3/2 )。分析：方法一，本例可以根據(jù)題目的條件信息，先求出時的具體函數(shù)y=f(x)，然后分別代入三個自變量，分別求出三個函數(shù)值，進(jìn)而比較大小，但求出函數(shù)容易出錯，而且不如方法二形象直觀。┣┣┣┣21111(2, 8)(1, 2)2468O┻方法二，利用對稱性，畫出y=f (x)的圖象（見上圖），由對稱性可知：f( 3/2 )＝f( 1/2 ).三個數(shù)的大小顯而易見：f(1/3)＞f( 3/2 )＞f( 2/3 )。　 設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a= ，()b=， ()c =請按從小到大的順序排列a、b、c分析，本例中三個方程，左邊是指數(shù)，右邊是對數(shù)，屬于超越方程，根據(jù)中學(xué)現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識，學(xué)生很難求出具體的字母數(shù)值，但分別畫出每一組指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象，我們可以直觀地看到，三組函數(shù)圖象的交點分別在不同的范圍內(nèi)（以橫坐標(biāo)分析，依次為左、中、右三點）所以我們可以直觀地得出a、b、c三個數(shù)的大?。憨擤擤擤擤签签签签擤?321cab11O1234()()..(2, 1)(2, 1)與此同時，也要提醒同學(xué)，由于作圖的不規(guī)范，特別是立體幾何的圖形由于觀察的角度不同，可能會給我們一些錯覺，明明是兩條異面直線，可能會給人一種似乎平行或相交的感覺。解析幾何或兩個函數(shù)圖象中，明明不相交，看起來卻可能是兩條相交直線等等，這就要我們通過以數(shù)式分析，或邏輯推理來認(rèn)定。平時利用數(shù)形結(jié)合分析時，特別是運用函數(shù)圖象分析時，要盡可能將圖象畫得準(zhǔn)確一些，關(guān)鍵點更是不能出錯。 溫故知新法高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，根據(jù)學(xué)科特點和知識結(jié)構(gòu)，前后內(nèi)容具有很強(qiáng)的聯(lián)系性，教授新的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，注意恰當(dāng)?shù)芈?lián)系、復(fù)習(xí)前面所學(xué)的內(nèi)容和知識，有利于認(rèn)識新舊知識的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和發(fā)展，鞏固已學(xué)知識，加深對已有知識的進(jìn)一步理解和掌握?，F(xiàn)有高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，除極個別專題性的章節(jié)內(nèi)容外，均可采用溫故知新的方法進(jìn)行教學(xué)。運用此法進(jìn)行教學(xué)，可能一開始教學(xué)進(jìn)度慢一點，但及時鞏固已學(xué)內(nèi)容，讓知識承上啟下，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識。例如，教學(xué)“不等式的解法”時，可以聯(lián)系、對比相應(yīng)“方程的求解”這一章節(jié)內(nèi)容，既講清了方程根是確定值，又可講清不等式的解通常是一個范圍，而不等式解的范圍邊界，又與類似方程的根有著緊密的對應(yīng)關(guān)系和聯(lián)系。講解“雙曲線”時，可以聯(lián)系、對比“橢圓”的定義、性質(zhì)、方程及其討論，對比分析，溫故而知新。特別是橢圓和雙曲線的方程、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，在字母信息a、b、c中似乎有許多相同點，但實際計算，因為a、b、c的內(nèi)在關(guān)系不同，又有本質(zhì)的不同。為什么雙曲線有漸近線，而橢圓沒有漸近線？三個字母的運算關(guān)系相同點和不同點是什么原因造成的等等。復(fù)數(shù)這一章節(jié)的內(nèi)容，可以說對前面所學(xué)高中數(shù)學(xué)知識，除立體幾何知識以外，幾乎都可以進(jìn)行重新整理和覆蓋。復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi中，如將字母i可以看作一個特別的、具有周期性性質(zhì)的符號進(jìn)行計算，可以覆蓋幾乎所有的代數(shù)問題；復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式z=cosa+isina，結(jié)合棣莫佛公式，分別進(jìn)行二項式代數(shù)形式展開和利用棣莫佛公式展開，加上角的賦值方法運用，幾乎可以推導(dǎo)所有的三角函數(shù)公式，不但有效地復(fù)習(xí)了三角函數(shù)公式和概念，而且給出了一種三角函數(shù)公式、特別是課本內(nèi)容中沒有提及的二倍角以上倍角公式的推導(dǎo)方法，實踐證明，還有助于長時間的記憶并幫助學(xué)生探討、研究三倍角、四倍角等多倍角三角函數(shù)公式的推導(dǎo)；利用復(fù)數(shù)模的幾何意義就是兩點間的距離概念，可以根據(jù)平面解析幾何中的軌跡定義，對平面解析幾何的所有問題，進(jìn)行重新討論，對圓錐曲線的概念、公式、基本計算等，從另一個觀察角度給出了一種別開生面的解釋，有很好的促進(jìn)、加深、鞏固作用。對于新接觸復(fù)數(shù)這塊內(nèi)容的學(xué)生，同時又讓其感受到了學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)知識的作用和意義，激發(fā)興趣、調(diào)動積極性。高中數(shù)學(xué)的許多新授課程和內(nèi)容，采用此法進(jìn)行教學(xué)，能夠讓數(shù)學(xué)知識串成線、鋪成面，前后呼應(yīng)、相輔相成，及時加強(qiáng)鞏固已學(xué)知識，引領(lǐng)新學(xué)知識，實踐證明效果較好。5 、實驗探索法高中的物理、化學(xué)、生物學(xué)科，有實驗的要求，有些內(nèi)容，必須通過實驗教學(xué)，才能幫助學(xué)生正確理解有關(guān)內(nèi)容和知識點，這是大家所共知的。數(shù)學(xué)有沒有可以實驗的內(nèi)容呢？巧妙設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗，不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能優(yōu)化數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)。因為數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)。新興的科學(xué)手段如計算機(jī)、多媒體等進(jìn)入課堂教學(xué)，為數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容實驗，提供了可行性條件。例如，進(jìn)入高二年級以后，學(xué)生的計算機(jī)基礎(chǔ)知識已經(jīng)具備，函數(shù)的各種圖象、直線與曲線的交點、方程根的存在性、個數(shù)的討論，圓錐曲線的方程與圖象畫法、立體幾何圖形的翻轉(zhuǎn)等等，教師或?qū)W生自主設(shè)計有關(guān)程序以后，在計算機(jī)上進(jìn)行實驗，能夠起到簡明扼要、直觀清晰的效果。如我在講完橢圓一節(jié)計算機(jī)作圖內(nèi)容以后，提出，將橢圓方程中“加號”作圖程序改寫成“減號”作圖程序以后，看看圖象會不會還是橢圓？會是什么圖象？雙曲線是不是兩支拋物線對稱構(gòu)成的幾何曲線等等。拋物線與雙曲線的一支，有沒有區(qū)別，為什么雙曲線有漸近線，而拋物線沒有漸近線？通過實驗和邏輯證明的同時映證，可以幫學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容。附：在南京市某國家級重點中學(xué)公開課講學(xué)案一份：冪函數(shù)（1）講學(xué)案 班級_______ 姓名____________（20015）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握冪函數(shù)的概念，會正確畫出常見冪函數(shù)圖象，了解常見冪函數(shù)性質(zhì)，能正確利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答相關(guān)問題。過程與方法：通過觀察、實驗、歸納、探究冪函數(shù)性質(zhì)。利用解題比賽，培養(yǎng)自主、合作學(xué)習(xí)的能力，及時反饋教與學(xué)效果。情感態(tài)度與價值觀：利用冪函數(shù)的指數(shù)變化，探究冪函數(shù)的性質(zhì)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。利用數(shù)形結(jié)合及多媒體技術(shù)，形象直觀地探究冪函數(shù)的指數(shù)與圖象性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。二、教學(xué)重點：冪函數(shù)的概念及常見冪函數(shù)圖象和性質(zhì)教學(xué)難點：常見冪函數(shù)圖象、性質(zhì)的歸納及應(yīng)用三、教學(xué)過程：（一）、回顧引入：前面我們學(xué)過了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。請?zhí)顚懴卤恚汉瘮?shù) 類別函數(shù)式定義域值域指數(shù) 指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)（二）、請看下列問題： 問題一：若正方形的邊長為，面積為，那么=__________ 若正方體的邊長為，體積為，那么=__________ 若正方形的面積為，邊長為，那么=__________冪函數(shù)的定義為：問題二：判斷下列函數(shù)中哪些是冪函數(shù)_____________ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 問題三：寫出下列冪函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性 問題四：（合作探究）試寫出兩到三個符合下列條件的冪函數(shù)________________________ 定義域為一切實數(shù)；定義域為正實數(shù)；定義域為不等于零的一切實數(shù)問題五：（自主實驗、探究）請畫出幾種熟悉的冪函數(shù)圖象 _問題六：列表歸納常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性x0時函數(shù)的單調(diào)性問題七：利用相關(guān)冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象比較下列各組數(shù)中兩個值的大小。（在橫線上填“” 或“”） （三）回歸課本：（指導(dǎo)學(xué)生看書，摘記重要內(nèi)容或補(bǔ)充說明）（四）效果檢測反饋（ ）下列結(jié)論正確的是 （ ） A．冪函數(shù)的圖象一定過原點 B．當(dāng)a0時，冪函數(shù)是減函數(shù)C．當(dāng)a1時，冪函數(shù)是增函數(shù) D．既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)下列函數(shù)中，在（，0）上是增函數(shù)的是（ ）若冪函數(shù)的定義域分別為M、N、P，則M=______________________, N=____________________, P=____________________(五)本課小結(jié):(另附)(六)作業(yè):P73 第題 四、教與學(xué)反思(請同學(xué)課后填寫):附：研究性學(xué)習(xí)：（實驗、探究、分析冪函數(shù)共有多少種類型圖象，以下十一種是否均為冪函數(shù)圖象，如是列出一個代表性冪函數(shù)式，如不是說出理由） （1） （2） （3） （4）。 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）6 、動定分析法在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有大量的數(shù)式字母討論題，同時又是高考數(shù)學(xué)試卷的命題熱點。分類討論實際上是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想，也是高中數(shù)學(xué)與初中以下數(shù)學(xué)知識和方法的最明顯不同點，是高中學(xué)生在學(xué)習(xí)和作業(yè)當(dāng)中的難點和易錯點，更是考生在高考數(shù)學(xué)中得分拉開距離的區(qū)分點。如何突破這一教學(xué)疑難，實踐中我們的做法是：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題提供的各種信息，在既有等式條件，又有不等式條件時，關(guān)注等式條件，從等式條件入手；在字母信息中，從“動”的條件中，特別注意發(fā)掘“定”的隱含條件，由“定”出發(fā)，討論“動”的變化。舉例說明如下：例　（根據(jù)宿遷市０８年高三模擬試題改編）已知函數(shù)y=f(x)是以２為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x206。[0,1]時，函數(shù)f(x)=x。若在區(qū)間x206。[1,3]內(nèi), 存在函數(shù)g(x)=kx+k+1。試根據(jù)k的取值情況，討論方程f(x)=g(x)取零點的個數(shù)。分析：本例中函數(shù)y=f(x)實際上是一個確定的信息（等式條件）函數(shù)g(x)=kx+k+1隨著k的變動而變動，是一個動態(tài)的信息。解題分析時，首先可根據(jù)確定信息入手，在坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y=f(x)的圖象。因為當(dāng)x206。[0,1]時，函數(shù)f(x)=x，且y=f(x)是以２為周期的偶函數(shù)，我們很容易得到函數(shù) y=f(x) 在x206。[1,3]內(nèi)的圖象： 再看函數(shù)g(x)=kx+k+1，雖然隨著k的變動，y=kx+k+1是一條變動的直線，但是，將已知式略作變形,可得是一條方程為：y1=k(x+1)“動”中有“定”的直線，此直線恒過定點(1,1)。這就為我們討論本題，提供了簡捷明快的“數(shù)形結(jié)合”、“動定相應(yīng)”分析法。如圖，在上圖中尋找出“動直線”中當(dāng) k=0， k = 和 k = 1時的三條“定直線”，這是本例分析的三條關(guān)鍵直線，顯然可見：當(dāng)k=0和k = 時，方程 f(x)=g(x) 有三個零點；當(dāng)k = 1時，方程 f(x)=g(x) 有無窮多個零點；當(dāng)1 k 時，方程 f(x)=g(x) 有兩個零點；當(dāng) k 0時，方程 f(x)=g(x) 有四個零點；當(dāng) k １或k＞０時，方程 f(x)=g(x) 僅有一個零點。（說明：本例可抽取其中任何一種零點個數(shù)情況，編寫成一道很好的字母k的取值范圍填空題）本例中根據(jù)圖２分析，不但可以判斷零點的個數(shù)，而且還可以進(jìn)一步判斷出零點的大致范圍。利用“數(shù)形結(jié)合”和“動定相應(yīng)”的分析法，是求解、分析類似問題不可多得的好辦法。7 、猜想驗證法數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。有些空間的形式和數(shù)量關(guān)系、自然規(guī)律和社會規(guī)律，很難建構(gòu)具體的數(shù)學(xué)模型，這就要求教師在平時教與學(xué)的過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生的想象能力，甚至一定的猜想能力。如果師生的想象、猜想，能夠通過邏輯推理、數(shù)式運算進(jìn)行驗證，那么，想象和猜想就是理性的、符合邏輯的、正確的。對想象和猜想的驗證過程，又是實實在的思維訓(xùn)練和數(shù)式推導(dǎo)、計算能力培養(yǎng)的實踐過程。特別是想象和猜想的驗證成功，能激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維想象能力和大膽的想象創(chuàng)造能力，對學(xué)生的思維習(xí)慣和終身發(fā)展都有一定的影響，是一件十分有意義的事。ABC在一次學(xué)校對外開放的公開課過程中，當(dāng)時所教學(xué)的內(nèi)容是兩條異面直線所成角的第三課時。為了引起學(xué)生的興趣，也適當(dāng)?shù)卦诠_課上進(jìn)行一點點研究性學(xué)習(xí)的探索，我出了一道簡單的立體幾何問題：在一個正方體中，