期權(quán)定價的數(shù)值策略-wenkub.com
2025-01-07 17:31 本頁面
【正文】 ? 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票 ,其當(dāng)前市場價為 50元 ,波動率為每年 40%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，該股票 5個月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價格為 50元，求該期權(quán)的價值。而隱性方法則不存在這個問題，它始終是有效的。 fS??? ?,ij, 1 ,i j i jffS? ??, , 1i j i jS ??, 1 , 12i j i jS????ft??? ?,ijft?? it?? ?1??1, ,i j i jffftt? ????22fS?? ?,1ij?fS?? , 1 ,i j i jS? ?? , 1 , , , 12 , 1 , 1 ,22 2i j i j i j i j i j i j i jf f f f f f fSSfS S S?? ????????? ????? ????? ? ?? ?2oS?? 差分方程 把以上三個近似代入布萊克－舒爾斯偏微分方程，整理得到： 其中， , 1 , , 1 1 ,j i j j i j j i j i ja f b f c f f? ? ?? ? ?221122ja rj t j t?? ? ? ?221jb j t r t?? ? ? ? ? 221122c rj t j t?? ? ? ? ?0,1,..., 1iN??0 1,..., 1jM? 邊界條件 1. 時刻看跌期權(quán)的價值為 其中 2. 當(dāng)股票價格為零時，下方邊界 上所有格點的期權(quán)價值： 3. 當(dāng)股票價格趨于無窮時 T ? ?, m a x , 0N j Tf X S??TS S??0,1,...,jM?0S?,0ifX0,1,...,iN, 0iMf ? 0,1,...,? 求解期權(quán)價值： 聯(lián)立 個方程： 和 時， 時， 解出每個 的期權(quán)價值 最后可以計算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價值。 2. 為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運算。 利率為變量時：期權(quán)價值為（初始時刻設(shè)為 0）： 為有效期內(nèi)瞬間無風(fēng)險利率的平均值。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險中性世界中的概率 ，從而為期權(quán)定價 p取當(dāng)前時刻為 ，在給定參數(shù) 、 和 的條件下，當(dāng) 時，二叉樹公式： tt??pud 0t??? ? ? ? ? ? ? ?, , 1 , rtf S t t pf Su t p f Sd t e ??? ? ? ? ?????可以在 進(jìn)行泰勒展開，最終可以化簡為： ? ?,St ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 21, , , , 02f f fS t rS S t S S t rf S t o tt S S?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?在 時，二叉樹模型收斂于布萊克－舒爾斯偏微分方程。 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日在到之間，則在時刻不確定部分的價值為： * ( ) ( )S i t S i t? ? ? 當(dāng) 時 it???* ( )( ( ) r i tS i t S i t D e ?? ? ?? ? ? ?當(dāng) 時（表示紅利） it???在 時刻： 當(dāng) 時，這個樹上每個結(jié)點對應(yīng)的證券價格為： ti?it???* ( )0 j i j r i tS u d D e ?? ? ? ??0,1, ,ji?當(dāng) 時，這個樹上每個結(jié)點對應(yīng)的證券價格為： ?ti*0 j i jS u d ?0,1, ,?（ 為零時刻的 值） *0S*S? 利率是時間依賴的情形 假設(shè) ，即在時刻 的結(jié)點上，其應(yīng)用的利率等于 到 時間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，則： ??r f t?t ttt?? ? ?f t tedp ud? ?? ? ? ?1 f t tuep ud ???? ?這一假設(shè)并不會改變二叉樹圖的幾何形狀，改變的是上升和下降的概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖 ? 的二叉樹圖 ?在確定參數(shù) 、 和 時，不再假設(shè) ，而令 ，可得： ud1ud? ? ? ?2 22r q t tue ? ?? ? ? ? ?? ? ?2 22r q t tde ? ?? ? ? ? ??該方法優(yōu)點在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 ?t?? 三叉樹圖 每一個時間間隔 內(nèi)證券價格有三種運動的可能： 從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 保持不變，仍為
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