第十一章有限元分析法概述-wenkub.com
2025-06-24 07:31 本頁面
【正文】 其中： 為軸向位移，剛度矩陣為拉壓桿單元的剛度矩陣，即：為扭轉(zhuǎn)角位移，剛度矩陣為扭轉(zhuǎn)桿單元剛度矩陣，即：屬于xoy 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：屬于xoz 平面內(nèi)梁純彎曲情形，其剛度矩陣為：按照節(jié)點位移的順序，經(jīng)過組合，可得整體坐標系下空間梁單元剛度矩陣為：空間梁單元坐標變換按照位移向量等效原則，對于節(jié)點1有：對于節(jié)點2有同樣的矩陣表達式：令： 稱為節(jié)點坐標變換矩陣。平面梁單元的剛度矩陣為：。其單元剛度矩陣為兩單元剛度矩陣的疊加，即：單元剛度方程為：對于連續(xù)梁單元，只有兩個自由度，即梁端彎矩，即。解：可以分成兩個梁單元，一個彈簧單元進行求解。則：梁的截面彎矩為：正應力： ， 其中：梁單元的應變能：外力做功：所以，純彎曲梁單元剛度矩陣可定義為：將B和I代入上式可得：因此，梁單元剛度方程為：例題1：如下圖所示，求中間結(jié)點的撓度和轉(zhuǎn)角以及兩端點的反力與反力矩。其中4個節(jié)點的坐標分別為：。解：對于單元1，有：對于單元2，有：對于單元3，有：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣：則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元方程為：載荷與位移邊界條件為：代入矩陣方程可得：由： 可得：由： 可得：從而簡化矩陣方程得：求解可得： 將位移代入矩陣方程可得反力：如果桿單元位于三維空間，同樣可以采用前面的坐標變換方法建立局部坐標系中單元剛度矩陣與整體坐標系中單元剛度矩陣之間的關(guān)系在局部坐標中有三個自由度，其中。試求節(jié)點2的位移及兩桿應力。由于：因此，等截面直桿在軸向力作用下變形后會與右端支座相接觸。求: 該結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；節(jié)點 2 的位移；節(jié)點 1 和節(jié)點 3 的支反力；桿的應力；彈簧的內(nèi)力。則形函數(shù)可表示為：形函數(shù)矩陣變?yōu)? ，則單元中任一點位移為：于是，應變?yōu)? 其中： 稱為單元應變矩陣，則：因此，應力可表示為：單元應變能：單元的外力勢能：則單元的總勢能為： 根據(jù)最小勢能原理可知：，則有：令，稱為桿單元在局部坐標系中的單元剛度矩陣為。第二節(jié) 線性等截面直桿單元 單元特性分析右下圖所示為一線性等截面直桿單元，其中，桿的長度為，橫截面積為，材料彈性模量為。求：1）系統(tǒng)的整體剛度矩陣；2）第2與第3節(jié)點的位移；3）第1與第4節(jié)點的反力；4）中間彈簧的受力大小。 很顯然，單元剛度矩陣為一對稱矩陣。假設(shè)：有一等截面桿，長，在集中力的作用下變形伸長根據(jù)虎克定律，有： 桿內(nèi)儲存的能量： 將上式寫成標準應力和應變的形式：則變形能為： 由n個單元和m個節(jié)點組成的物體的總勢能II為總應變能和外力所做功的差: 根據(jù)最小總勢能原理，對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，平衡位置會發(fā)生位移，并使系統(tǒng)的總勢能最小。這種分析類型可用于換熱器、振蕩器、諧振器、麥克風等部件及其他電子設(shè)備的結(jié)構(gòu)動態(tài)性能分析。程序的聲學功能用來研究在含有流體的介質(zhì)中聲波的傳播，或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。分析結(jié)果可以是每個節(jié)點的壓力和通過每個單元的流率。主要用于電磁場問題的分析，如電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、力、運動效應、電路和能量損失等。程序可處理熱傳遞的3 種基本類型：傳導、對流和輻射。4) 動力學分析。ANSYS 可進行的結(jié)構(gòu)動力學分析類型包括：瞬態(tài)動力學分析、模態(tài)分析、諧波響應分析及隨機振動響應分析。ANSYS 程序中的靜力分析不僅可以進行線性分析，而且也可以進行非線性分析，如塑性、蠕變、膨脹、大變形、大應變及接觸分析。軟件提供了100 種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結(jié)構(gòu)和材料。具體包括：有限元分析結(jié)果的數(shù)據(jù)平滑，各種物理量的加工和檢查，如：結(jié)構(gòu)變形圖、應力分布圖和結(jié)構(gòu)動力振型圖等，針對工程和產(chǎn)品設(shè)計的要求與工程規(guī)范對結(jié)果進行校核，根據(jù)計算結(jié)果進行設(shè)計優(yōu)化與模型修改，還包括計算結(jié)果的文檔整理等。2）求解階段。比較有代表性的有：ADAMS、DADS、MSC/FATIGUE等等。這種方法常采用混合變分原理進行分析。應力法常采用最小余能原理進行分析。它以節(jié)點位移作為基本未知量，選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)，進行單元的力學特性分析，在節(jié)點處建立單元剛度方程，再合并組成整體剛度矩陣，解出節(jié)點位移后，由節(jié)點位移再求解出應力。 有限元方程求解 解方程，即可求得各節(jié)點的位移，進而根據(jù)位移計算單元的應力及應變。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，應用有關(guān)的力學原理建立單元內(nèi)節(jié)點力與節(jié)點位移之間的方程式，從而導出單元剛度矩陣。因為多項式的數(shù)學運算比較方便，并且所有光滑函數(shù)的局部都可以用多項式逼近。單元特性分析主要有兩項：選擇單元位移模式（位移函數(shù)）和分析單元的特性，即建立單元剛度矩陣。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連結(jié)成的離散物體。離散化也稱為劃分網(wǎng)格或網(wǎng)格化。即： 根據(jù)變橫截面桿結(jié)構(gòu)的已知參數(shù)可得： 當時， 當時， 當時，當時，當時，每個單元的等效剛度系數(shù) 總體剛度矩陣：應用邊界條件和負荷，可以得到：
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