第十一章有限元分析法概述(已修改)
2025-07-09 07:31 本頁面
【正文】 第十一章 有限元分析方法概述基本概念有限元分析方法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代沒計計算方法。它是20世紀50年代首先在連續(xù)體力學領域—飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快就廣泛地應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。 在工程分析和科學研究中，常常會遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應的邊界條件描述的場問題，如位移場、應力場和溫度場等問題。求解這類場問題的方法主要有兩種：用解析法求得精確解；用數(shù)值解法求其近似解。應該指出，能用解析法求出精確解的只是方程性質(zhì)比較簡單且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題。而對于絕大多數(shù)問題，則很少能得出解析解。這就需要研究它的數(shù)值解法，以求出近似解。目前工程中實用的數(shù)值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。其中，以有限元法通用性最好，解題效率高，目前在工程中的應用最為廣泛。下面通過一個具體例子，分別采用解析法和數(shù)值解法進行求解，從而體會一下有限元分析方法的含義及其相關的一些基本概念。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負荷，試求桿沿長度方向任一截面的變形大小。其中，桿的上邊寬度為，下邊寬度為，厚度為，長度為，桿的材料彈性模量為。已知＝4450N，＝50mm，=25mm，=3mm，=250mm，=72GPa。 ① 采用解析法精確求解 假設桿任一橫截面面積為，其上平均應力為，應變?yōu)椤８鶕?jù)靜力平衡條件有：根據(jù)虎克定律有：而任一橫截面面積為：任一橫截面產(chǎn)生的應變?yōu)椋? 將上述方程代入靜力平衡條件，進行變換后有：沿桿的長度方向?qū)ι鲜絻蛇呥M行積分，可得：將表達式代入上式，并對兩邊進行積分，得桿沿長度方向任一橫截面的變形量：當分別取0、12250值時，變截面桿相應橫截面處的沿桿長方向的變形量分別為：② 采用數(shù)值解法近似求解將變橫截面桿沿長度方向分成獨立的4小段，每一小段采用等截面直桿近似，等截面直桿的橫截面面積為相應的變截面桿橫截面面積的平均面積表示，每一小段稱為一個單元，小段之間通過節(jié)點連接起來。這樣，變橫截面桿就可以用5個節(jié)點和4個單元組成的模型來近似表示，如右圖所示。假設任一橫截面面積為A、長為的等截面直桿，在軸向拉力F的作用下產(chǎn)生變形量，則該直桿橫截面上的應力和應變分別為： 根據(jù)虎克定律： 可得：上述方程與線性彈簧的方程極為相似，表明一個中心點集中受力且橫截面相等的等截面直桿可以等效為一個彈簧，其等效剛度為:因此，變橫截面桿可以看作由四個線性彈簧串聯(lián)起來的模型來近似表示，如下圖所示，每一個單元都可以視為一個線性彈簧，其彈性行為符合以下方程： 下面考慮每一個節(jié)點的受力，根據(jù)靜力平衡條件，每一個節(jié)點上的受力總和為0，即：節(jié)點1： 節(jié)點2： 節(jié)點3： 節(jié)點4： 節(jié)點5： 將反作用力R1和外力P從內(nèi)力中分離出來，重新對上述五個方程組成的方程組進行變換，得：節(jié)點1： 節(jié)點2： 節(jié)點3： 節(jié)點4： 節(jié)點5： 將上述方程組寫成矩陣形式，有：將反作用力和外力分離出來，可以重組上述矩陣，得：寫成一般形式，可得： 即表示：引入邊界條件，根據(jù)本題的要求，節(jié)點1的位移為0，即 ，則有如下矩陣形式：通過求解上述矩陣方程，可得每個節(jié)點的位移，進而可以求得每個節(jié)點的反作用力，每一個單元的應力和應變。即： 根據(jù)變橫截面桿結構的已知參數(shù)可得： 當時， 當時， 當時，當時，當時，每個單元的等效剛度系數(shù) 總體剛度矩陣：應用邊界條件和負荷，可以得到：求解該方程，可得： 而第一種精確求解方法求得的每個節(jié)點處的位移分別為： 比較兩種結果表明：采用數(shù)值解法近似求解的結果與解析法精確求解的結果相當接近，如果將變橫截面桿沿桿長方向分離成的單元越多，數(shù)值解法求解的結果將與精確解法求得的結果誤差將會越來越小。有限元法的分析過程 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對象（物體或結構），所謂離散化就是將所求解的對象劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。因而，相鄰單元只在節(jié)點處連接，載荷也只通過節(jié)點在各單元之間傳遞，用這些有限個單元構成的集合體來近似代替原來的連續(xù)體。這種由單元和節(jié)點構成的集合體稱為有限元分析模型。離散化也稱為劃分網(wǎng)格或網(wǎng)格化。單元劃分后，給每個單元及節(jié)點進行合理編號；選定坐標系，計算各個節(jié)點坐標；確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。下圖所示為將一懸臂梁建立有限元分析模型的例子，圖中將該懸臂梁劃分為許多三角形單元，三角形單元的三個頂點都是節(jié)點。結構離散化后，單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連結起來，單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)目等應視具體問題的性質(zhì)、描述變形形態(tài)的需要和計算精度而定。所以有限元法中分析的結構已不是原有的物體或結構物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連結成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結
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