第十一章有限元分析法概述(參考版)
2025-06-30 07:31本頁面
【正文】 節(jié)點坐標(biāo)變換矩陣中的元素為局部坐標(biāo)軸對整體坐標(biāo)軸的方向余弦則單元坐標(biāo)變換矩陣為：空間梁單元的剛度矩陣為：作用力矩陣為：剛度方程為：七、平面線性三角形單元 根據(jù)邊界條件可得： 平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：2單元應(yīng)力：或者 八、二次三角形單元九、雙線性四變形單元十、二次四變形單元十、線性四面體單元 ?？臻g梁單元及其坐標(biāo)變換如右圖所示，空間梁單元主要受軸向力、彎矩、扭矩的作用，整體剛度矩陣可由拉壓桿、扭轉(zhuǎn)桿、與平面梁等單元合并而成。作用力矩陣為：剛度方程為：例題4，如圖所示為一剛性梁框架，求解節(jié)點1和2的位移和轉(zhuǎn)角。解：將均勻分布力進(jìn)行等效變換，如下圖所示:有限元方程為：力與位移邊界條件為：，于是方程可簡化為：求解方程可得：相應(yīng)的，節(jié)點力與力矩為：懸臂梁左端的反力和反力矩為：平面問題中梁單元的坐標(biāo)變換按照兩個坐標(biāo)系中位移向量相等效的原則，可以推出坐標(biāo)變換關(guān)系：寫成矩陣形式可得：令：稱為坐標(biāo)變換矩陣。其剛度矩陣為：對于一端剛結(jié)，一端鉸結(jié)，其鉸結(jié)端沒有彎矩，即：，則有：將上述方程代入剛度矩陣可得其單元剛度矩陣為：單元剛度方程：如果梁上作用有分布載荷，如下圖所示：應(yīng)將分布載荷轉(zhuǎn)換為作用于節(jié)點上的集中力與彎矩，用公式表示為：當(dāng)時，則：同樣，如下圖所示的分布力可以進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換。這種梁單元相當(dāng)于等截面直桿單元與不考慮軸向變形的純彎曲梁單元的合成。兩個純彎曲梁單元矩陣分別為： 彈簧單元矩陣為：則整體有限元方程為：邊界條件為：邊界條件代入有限元方程，簡化后求解得：再將求解結(jié)果代入有限元方程，可得反力。已知：。解：顯然，將整個梁分成兩個梁單元。則形函數(shù)可變?yōu)椋毫旱那蕿椋毫睿?，稱為應(yīng)變矩陣。假定：E=200GPa，A14=，A24=，A34＝，P＝12KN，求：1）該結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；2）節(jié)點 4 的位移；3）節(jié)點 3 的支反力；4）每個單元的應(yīng)力。節(jié)點節(jié)點2和節(jié)點3的支座是球鉸，可以旋轉(zhuǎn)但不能平移。在整體坐標(biāo)中有三個自由度。已知： 求節(jié)點位移與反力。解：兩桿在局部坐標(biāo)中的剛度矩陣為：兩個矩陣不能直接組裝成整體剛度矩陣，因為它們分別屬于不同的坐標(biāo)系。兩者之間的變換關(guān)系為：將上式寫成矩陣形式為：令： 稱為變換矩陣，也是一個正交矩陣，即：對于等截面直桿單元，有兩個節(jié)點，將每個節(jié)點位移都進(jìn)行變換后可得：令： 稱為坐標(biāo)變換矩陣則桿單元節(jié)點位移矩陣可寫成： 桿單元節(jié)點力按照同樣方式進(jìn)行變換，可得： 其中：在局部坐標(biāo)中，有：將其擴(kuò)大，得：令：稱為局部平面坐標(biāo)系中的桿單元剛度矩陣則：將和兩式代入上式可得：兩邊左乘的轉(zhuǎn)置矩陣可得：則整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣為：將相關(guān)表達(dá)式代入上式可得：其中：單元應(yīng)力：例題一：右圖為一平面桁架，兩桿長度、彈性模量、橫截面都相同，分別為。系統(tǒng)整體剛度矩陣方程為：力和位移邊界條件為：將上述邊界條件代入矩陣方程可得：求解上述方程可得： 單元特性分析 如果桿單元沿桿軸向施加均勻分布荷載，如圖所示： 將軸向均布荷載轉(zhuǎn)換為作用在桿節(jié)點的等效節(jié)點荷載，計算公式為：均勻分布荷載所做的功為：即： 根據(jù)能量守恒定律，有： ，即： 簡化可得： 則節(jié)點力為： 很顯然，如下圖所示：如果等截面直桿單元位于二維平面坐標(biāo)中，如圖所示： 在局部坐標(biāo)中有兩個自由度，其中有一個自由度。解：首先判斷等截面直桿在軸向力P的作用下伸長后是否與右端支座相接觸。例2：下圖為一等截面直桿。解：這是由兩個等截面直桿單元串聯(lián)而成，有2個單元3個節(jié)點， 則： 總體剛度矩陣為：整體剛度方程為：施加位移和力邊界條件：整體剛度方程變?yōu)椋呵蠼馍鲜稣w剛度方程可得： ， ， 作業(yè)：下圖所示為1個彈簧單元和1個線性桿單元組成的結(jié)構(gòu)，假定 E＝200GPa，A= ，K=1000KN/m，P＝25N。則桿單元剛度方程為：將單元應(yīng)變矩陣表達(dá)式代入單元剛度矩陣可得:這就是等截面直桿在局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。則：建立桿單元的局部坐標(biāo)，則有：形函數(shù)矩陣可變?yōu)椋簞t位移函數(shù)為：令：，稱為自然坐標(biāo)。根據(jù)材料力學(xué)可知，單元在節(jié)點軸向力的作用下，桿內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變在軸線各點處均是恒定常數(shù)，因而桿內(nèi)任一點位移沿桿軸線呈線性規(guī)律變化。求：1）結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣； 2）節(jié)點 5 的位移；3）節(jié)點 2 的支反力； 4）每個彈簧的內(nèi)力。解：根據(jù)上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可
職業(yè)教育相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1