第十一章有限元分析法概述-wenkub
2023-07-12 07:31:35 本頁面
【正文】 求解該方程，可得： 而第一種精確求解方法求得的每個節(jié)點處的位移分別為： 比較兩種結果表明：采用數值解法近似求解的結果與解析法精確求解的結果相當接近，如果將變橫截面桿沿桿長方向分離成的單元越多，數值解法求解的結果將與精確解法求得的結果誤差將會越來越小。 ① 采用解析法精確求解 假設桿任一橫截面面積為，其上平均應力為，應變?yōu)?。下面通過一個具體例子，分別采用解析法和數值解法進行求解，從而體會一下有限元分析方法的含義及其相關的一些基本概念。而對于絕大多數問題，則很少能得出解析解。它是20世紀50年代首先在連續(xù)體力學領域—飛機結構靜、動態(tài)特性分析中應用的一種有效的數值分析方法，隨后很快就廣泛地應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等連續(xù)性問題。 在工程分析和科學研究中，常常會遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應的邊界條件描述的場問題，如位移場、應力場和溫度場等問題。這就需要研究它的數值解法，以求出近似解。如下圖所示為一變橫截面桿，桿的一端固定，另一端承受負荷，試求桿沿長度方向任一截面的變形大小。根據靜力平衡條件有：根據虎克定律有：而任一橫截面面積為：任一橫截面產生的應變?yōu)椋? 將上述方程代入靜力平衡條件，進行變換后有：沿桿的長度方向對上式兩邊進行積分，可得：將表達式代入上式，并對兩邊進行積分，得桿沿長度方向任一橫截面的變形量：當分別取0、12250值時，變截面桿相應橫截面處的沿桿長方向的變形量分別為：② 采用數值解法近似求解將變橫截面桿沿長度方向分成獨立的4小段，每一小段采用等截面直桿近似，等截面直桿的橫截面面積為相應的變截面桿橫截面面積的平均面積表示，每一小段稱為一個單元，小段之間通過節(jié)點連接起來。有限元法的分析過程 連續(xù)體離散化所謂連續(xù)體是指所求解的對象（物體或結構），所謂離散化就是將所求解的對象劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，每個微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。單元劃分后，給每個單元及節(jié)點進行合理編號；選定坐標系，計算各個節(jié)點坐標；確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數以及邊界條件等。這樣，用有限元分析計算所獲得的結果只是近似的。根據材料學、工程力學原理可知，彈性連續(xù)體在載荷或其他因素作用下產生的應力、應變和位移，都可以用位置函數來表示。至于多項式的項數和階次的選擇，則要考慮到單元的自由度和解的收斂性。 整體分析 在對全部單元進行完單元分析之后，就要進行單元組集，即把各個單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。有限元法的理論基礎有限元法是一種離散化的數值解法，對于結構力學特性的分析而言，其理論基礎是能量原理。位移法優(yōu)點是比較簡單，規(guī)律性強，易于編寫計算機程序。它以節(jié)點力作為基本未知量，在節(jié)點處建立位移連續(xù)方程，求解出節(jié)點力后，再求解節(jié)點位移和單元應力。它取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為基本未知量，建立平衡方程進行求解。3）嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊：這類分析模塊與設計軟件集成為一體，有限元分析在工程師所熟悉的設計環(huán)境中進行，功能沒有專用或通用有限元分析軟件那么強大全面，但它們解決一般工程問題的能力也是很強的，比較有代表性的有：IDEAS、PRO/ENGINEER和 UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系統(tǒng)中的有限元分析模塊。求解線性和非線性的微分方程組，得到節(jié)點的值。 目前，應用比較廣泛的有限元分析軟件主要是ANSYS軟件。分析類型主要包括以下幾種：1) 結構靜力分析。2) 結構動力學分析。3) 結構非線性分析。ANSYS 程序可以分析大型三維柔體運動。熱傳遞的3 種類型均可進行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。還可用于螺線管、調節(jié)器、發(fā)電機、變換器、磁體、加速器、電解槽及無損檢測裝置等的設計和分析領域。并且可以利用后處理功能產生壓力、流率和溫度分布的圖形顯示。這些功能可用來確定音響話筒的頻率響應，研究音樂大廳的聲場強度分布，或預測水對振動船體的阻尼效應。可進行4 種類型的分析：靜態(tài)分析、模態(tài)分析、諧波響應分析、瞬態(tài)響應分析。即：對于例1，任意單元（e）的應變能由應變能公式可得： 則： 寫成矩陣形式：而： 將總勢能最小公式寫成矩陣形式，得出根據力邊界條件，可知：F1=R F2=0 F3=0 F4=0 F5=P 則得：根據位移邊界條件：u1=0 則有：求解上式矩陣，得出的結果與采用直接公式法得出的結果相同。如果將兩個彈簧串聯組成一個彈簧系統(tǒng)，如下右圖所示，則系統(tǒng)有兩個單元，三個節(jié)點。解：根據上面可知，系統(tǒng)總體剛度矩陣為：系統(tǒng)矩陣方程為：施加邊界條件可得：將矩陣方程簡化可得： 求解上述矩陣方程得： 則節(jié)點1與節(jié)點4的反力： 單元2的矩陣方程為： 則單元2的彈簧力為： 例2：下圖所示一彈簧系統(tǒng)，寫出其整體剛度矩陣和邊界條件。根據材料力學可知，單元在節(jié)點軸向力的作用下，桿內應力和應變在軸線各點處均是恒定常數，因而桿內任一點位移沿桿軸線呈線性規(guī)律變化。則桿單元剛度方程為：將單元應變矩陣表
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