【正文】 即 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiM Q M Q M?????? ??????109 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiK Q K Q K?????? ?????? 由主質(zhì)量矩陣 [Mp]和主剛度矩陣 [Kp]可得到如下關(guān)系： 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TTppQ M Q M K Q K? ? ???110 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 對振動方程用振型矩陣進(jìn)行變換 用主坐標(biāo)表示的運動方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這樣原方程就變成了 n個獨立的 (解耦的 )固有頻率為?i的簡諧振動 ， 這組廣義坐標(biāo) {Z}稱為主坐標(biāo) 。 例如給出 t＝ 0時的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個方程的方程組 ()1{ } { } ( s in c o s )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } sin{ } { } c o sniiiinii i iix c Xv c X??????? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 98 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 311】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設(shè)初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵的自由振動響應(yīng) 。 通常規(guī)定 {XN(i)}滿足條件 ( ) ( ){ } [ ] { } 1i T iNNX M X ? 滿足這個限制條件的振型 {XN(i)}稱為標(biāo)準(zhǔn)化（ 或正規(guī)化 、 歸一化 ） 的振型 。 如在 A2格輸入 =w^35*w^2+6*w1 (3)“ 工具 ” “ 單變量求解 ” … (只能求第一固有頻率 ) (4 )高階特征值的求解要用 “ 工具 ” “ 規(guī)劃求解 ” … 固有頻率為： 2 2 21 2 98 , 55 , 47? ? ?? ? ?91 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均 有一個未確定的常數(shù)比例因子。 求固有頻率和振型 。 ? ?{ } si n( )x X t????87 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 將每個特征根 ?i（ 固有頻率 ） 代入廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}, 可得到相應(yīng)的非零向量 {X(i)}, 稱為特征矢量 ,或稱特征向量 、 固有振型 、 固有向量 、模態(tài)向量等 。 84 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 1223001[ ] 0 0200mM m rm?????????????1 2 222 2 3 3330[ ] ( )0k k k rK k r k k r k rk r k??????? ? ? ??? ???85 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 無阻尼自由振動的運動方程為 主 振型 方程式 特征值和特征向量 [ ] { } [ ] { } { 0 }M x K x?? 利用兩自由度系統(tǒng)的分析結(jié)果 ， 假設(shè)方程解的形式為 ? ?{ } si n( )x X t????86 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 式中 {X}為振幅向量 ， ?為固有頻率 ， ? 為初相位 。 一般來說 ， 一個 n自由度的振動系統(tǒng) ， 其廣義位移可以用 n個獨立坐標(biāo)來描述 ， 其運動規(guī)律通?？捎?n個二階常微分方程來確定 。 由 X2/xst的式子可知 ， 質(zhì)量比 ?越大 ， 在 r＝ 1時 X2越小 ， 因此我們?nèi)?? 值不能太小 。 76 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 22akm? ?—— 吸振系統(tǒng)的固有頻率 。 11 11 1 2 22 2 2220s in0 0xx kam k k ktm k k???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?解 : 振動方程為 1 1 1 1 2 1 22 2 2 1 2( ) ( )()sm x k x x k x xm x k x x? ? ? ? ???即 72 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 代入數(shù)據(jù) ， 求得固有頻率為 ?1＝ ， ?2＝ 機車振動頻率為 ?＝ ?1＝ ＝ 利用前面的方法求得振幅為 22 2 11 2 2 21 2 1 2 2 2212 2 2 21 2 1 2 2 2() 57( ) ( ) 04( ) ( )k m k aXak k m k m kk k aXak k m k m k????????? ?? ? ? ??????? ? ??＋＋73 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng)機器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時會引起劇烈的振動 ，由單自由度系統(tǒng)振動理論知道 ， 可以通過調(diào)整質(zhì)量或彈簧剛度或增加阻尼來使振動情況得到緩解 。因此實際結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響 。 設(shè)初始條件為 0 1 0 2 0 1 0 21 , 0x x x x??＝ ＝61 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 解 : （ 1） 求固有頻率和振幅比 ,得到振型矩陣 [u] 21 ,km? ＝ 22 5 ,2km? ＝1211,2uu ??＝11[] 112u??????????0[]02mMm??? ????2[]3kkKkk???? ?????62 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 si n( )i i i iP C t????（ 3） 利用式 {x}=[u]{P}得出 （ 2） 主坐標(biāo)下的響應(yīng) （ 4） 確定常系數(shù) 。 主坐標(biāo)的概念在強迫振動中具有重要意義 。 方程既是靜力耦合又是動力耦合 。 前面分析的標(biāo)準(zhǔn) mkc系統(tǒng)就是靜力耦合 。 解 :（ 1） 用牛頓定律建立方程 1 1 1 1 2 1 22 2 2 1 2()()m x k x k x xm x k x x? ? ? ???120[]0mMm???????1 2 222[]k k kKkk????? ?????48 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 （ 2） 頻率方程為 222 0k m kk k m???? ???解得 120 . 6 1 8 , 1 . 6 1 8kkmm????（ 3） 求振型 。 （ 3） 利用初始條件求響應(yīng) 。 系統(tǒng)在主振動中 ， 各質(zhì)點同時達(dá)到平衡位置或最大位移 ， 而在整個振動過程中 ， 各質(zhì)點位移的比值將始終保持不變 ， 也就是說 ， 在主振動中 ， 系統(tǒng)振動的形式保持不變 ， 這就是振型的物理意義 。 將振幅寫成矩陣形式 ()1( ) ( )1()21{}iiiiiXXXuX?? ??????? ? ? ??? ???? 稱為振型向量或模態(tài)向量 ， 組成的矩陣稱為振型矩陣 。 將這兩個根代入廣義特征值問題 ([K]－?2[M]) {X}={0}可得到相應(yīng)的振幅比值 式中 X(i)表示對應(yīng)于第 i個固有頻率的振幅(i=1, 2)。 要使上式有解 ， 必須使其系數(shù)行列式為零 。 30 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 3. 阻尼矩陣的形成 線性阻尼 （ 黏滯阻尼 ） 的耗能函數(shù)可寫為 [C]即為所求的阻尼矩陣 ， 也是對稱陣 。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點和零勢能位置 22121 ()2T m x m x??x1 x2 D1 D2 2 2 21 1 21 1 12 2 2V k x k k? ? D ? D而 122 2 1 122 ( )k l k lxx? D ? D??? D ? ? D??則 1 2 12 2 1( 2 4 ) / 5( 2 ) / 5xxxxD ? ??? D ? ??26 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 所以 221 1 2 29 2 11 0 5 1 0V k x k x x k x? ? ?1 1 1 11()d T d m x m xd t x d t??????????10Tx? ??2 2 2 22()d T d m x m xd t x d t?????????? 2 0Tx? ??1219255V k x k xx? ??? 1222155V k x k xx? ? ? ??27 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 計算廣義力 ， 設(shè)只有 x1處 產(chǎn)生虛位移 ?x1， 則 11111c x xQ c xx???? ? ?同樣設(shè) x2處 產(chǎn)生虛位移 ?x2， 則 220 0cQx?????代入拉格朗日方程即可 。 （ i＝ 1， 2） 20 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 32】 用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度 mkc系統(tǒng)微振動微分方程 。由材料力學(xué)撓度公式 2( 3 )6lFaw l aEI??15 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 3311( / 2 )3 2 4llRE I E I??則 231 2 2 1( / 2 ) 5( 3 )6 2 4 8l l lR R lE I E I? ? ? ?322 3lREI?3 25[]5 1 648lREI???????而 則方程為 120[]0mMm???????311 122202 5 005 1 6 048xx mlmEI? ? ? ??? ??????? ? ? ? ? ??????? ????? ? ? ?16 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若寫為力方程形式 131 6 548[ ] [ ]527EIKRl