【正文】 +? 和 B。,第一百二十八頁，共一百六十五頁。,,,,01:33,2.6 一維疲勞(p237。l225。o)損傷理論,167。2.6.2 疲勞損傷(sǔnshāng)的非線性累積律,Chaboche損傷演化(yǎnhu224。)方程,其中?，?，M 是與溫度相關(guān)的材料參數(shù)，且 。,Chaboche提出一種更為復(fù)雜的損傷演化方程,（2.6.11）,類似地，積分可得到損傷隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系,（2.6.12）,第一百二十九頁，共一百六十五頁。,,,,01:33,2.6 一維疲勞損傷(sǔnshāng)理論,167。2.6.2 疲勞(p237。l225。o)損傷的非線性累積律,Chaboche損傷演化(yǎnhu224。)方程,推導(dǎo)：,第一百三十頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.3 低周疲勞(p237。l225。o)損傷,2.6 一維疲勞損傷(sǔnshāng)理論,在低周疲勞損傷情況下，塑性變形通常對損傷有明顯(m237。ngxiǎn)的影響。,每一載荷循環(huán)中損傷可表示為塑性應(yīng)變??p 的冪指數(shù)函數(shù)形式，即,（2.6.13）,應(yīng)用N=0, ?=0 和N=NF, ?=1，積分可得到考慮塑性損傷疲勞壽命的 CoffinManson公式,（2.6.14）,（2.6.15）,從而可求出塑性應(yīng)變幅 ??p 為,第一百三十一頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.3 低周疲勞(p237。l225。o)損傷,2.6 一維疲勞(p237。l225。o)損傷理論,類似(l232。i s236。)地,積分有,（2.6.16）,從而可求出彈性應(yīng)變幅 ??e 為,（2.6.17）,當(dāng)循環(huán)彈性應(yīng)變幅??e 較小，即應(yīng)力水平較低的情形下，損傷方程可表示為應(yīng)力幅的函數(shù)，即,（2.6.18）,第一百三十二頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.3 低周疲勞(p237。l225。o)損傷,2.6 一維疲勞(p237。l225。o)損傷理論,前面式子中， 都是與溫度相關(guān)的材料參數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，對于很多材料，這些參數(shù)可以用實(shí)驗(yàn)中可以測量(c232。li225。ng)到的參數(shù)來等效，這樣對全應(yīng)變幅有表達(dá)式,（2.6.19）,式中，?u 為材料的強(qiáng)度極限應(yīng)力，Du 表示材料延伸率的參數(shù)，其與頸縮時的橫截面面積減縮 AR 的關(guān)系為,（2.6.20）,這樣??e 和 ??p 相加，得到全應(yīng)變幅 ?? 為,（2.6.21）,第一百三十三頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.4 疲勞損傷(sǔnshāng)的測量,2.6 一維疲勞損傷(sǔnshāng)理論,※應(yīng)變(y236。ngbi224。n)等效假設(shè),考慮損傷材料的變形行為可以只通過有效應(yīng)力來體現(xiàn)。換言之，損傷材料的本構(gòu)關(guān)系可以采用無損時的形式，只要將其中的應(yīng)力 用相應(yīng)的有效應(yīng)力 替換即可。,例子：,損傷體現(xiàn)在把無損時的彈性模量 E 減小到有損時的 。,第一百三十四頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.4 疲勞損傷(sǔnshāng)的測量,2.6 一維疲勞(p237。l225。o)損傷理論,控制應(yīng)力的加載過程(gu242。ch233。ng)：應(yīng)力幅恒定，測量應(yīng)變幅的變化,這樣，對于疲勞問題，假設(shè)應(yīng)力幅 ?? 和應(yīng)變幅 ?? 的關(guān)系為,（2.6.22）,對于同樣的應(yīng)力幅 ??，設(shè)不考慮損傷時引起的應(yīng)變幅為 ??? ，即有,（2.6.23）,從而有,（2.6.24）,說明：在控制應(yīng)力加載的疲勞實(shí)驗(yàn)中，可以根據(jù)應(yīng)變幅的變化來確定損傷的變化。,第一百三十五頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.6.4 疲勞(p237。l225。o)損傷的測量,2.6 一維疲勞(p237。l225。o)損傷理論,控制(k242。ngzh236。)應(yīng)變的加載過程：應(yīng)變幅恒定，測量應(yīng)力幅的變化,對于疲勞問題，同樣假設(shè)應(yīng)力幅 ?? 和應(yīng)變幅 ?? 的關(guān)系為,（2.6.25）,在損傷出現(xiàn)前，應(yīng)力幅 ???，同樣有,（2.6.26）,從而有,（2.6.27）,說明：在控制應(yīng)變加載的疲勞實(shí)驗(yàn)中，可以根據(jù)應(yīng)力幅的變化來確定損傷的變化。,第一百三十六頁，共一百六十五頁。,01:33,2.7 一維纖維(xiānw233。i)束模型,167。2.7.1 連續(xù)化的纖維(xiānw233。i)束模型 167。2.7.2 蠕變斷裂的纖維束模型,第一百三十七頁，共一百六十五頁。,01:33,2.7 一維纖維(xiānw233。i)束模型,※前言(qi225。n y225。n),首先(shǒuxiān)由Peirce于1926年提出。在先后發(fā)展的一系列纖維束模型中，基于Weibull的強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)理論，認(rèn)為固體材料的強(qiáng)度很大程度上決定于纖維的局部缺陷，而不是整體的平均行為（如剛度）。這種理論模型比較簡單粗糙，但對于定性理解材料的力學(xué)行為和破壞機(jī)理很有幫助。,纖維束模型認(rèn)為，材料是由相互平行的纖維構(gòu)成的。在考慮材料的損傷時，纖維的平行程度、纖維間和每根纖維內(nèi)部的缺陷都會影響材料的力學(xué)行為。,第一百三十八頁，共一百六十五頁。,01:33,2.7 一維纖維(xiānw233。i)束模型,※前言(qi225。n y225。n),纖維束模型： 一系列相互平行、相同長度的纖維組成； 纖維間彼此獨(dú)立（即沒有(m233。i yǒu)側(cè)向力作用）； 纖維束整體的力學(xué)性質(zhì)（強(qiáng)度、剛度）取決于每根纖維的性質(zhì)； 一根纖維的斷裂，對應(yīng)于連續(xù)介質(zhì)中微裂紋形成的斷裂，可能也不可能引起纖維束整體的破壞。,第一百三十九頁，共一百六十五頁。,01:33,由數(shù)目龐大的纖維組成的纖維束，可以連續(xù)化地處理為一個纖維板。任意(r232。ny236。)一根纖維在纖維板中的位置可以用一個連續(xù)量 x 來表示（0?x?1)。,167。2.7.1 連續(xù)化的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,設(shè)纖維束的橫截面面積為A0，則一根寬度為dx的纖維對應(yīng)的橫截面面積為dxA0。設(shè)其對應(yīng)的彈性模量為E(x)。因?yàn)槔w維間沒有相互擠壓，從而可重新排列而不影響纖維束整體的力學(xué)性質(zhì)，因此可設(shè)E(x)為單調(diào)遞增的函數(shù)。,第一百四十頁，共一百六十五頁。,01:33,設(shè)纖維的斷裂應(yīng)力 ?R(x) 也是沿 x 單調(diào)變化的函數(shù)(h225。nsh249。)。為簡單起見，設(shè) E(x) 和 ?R(x) 均為線性函數(shù)，可表示為,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.1）,（2.7.2）,其中， 分別為纖維的平均彈性模量和平均斷裂應(yīng)力。系數(shù)?、?的范圍是 0? ? ?1， 0? ? ?1 。 易驗(yàn)證：對于??、??，,（2.7.3）,（2.7.4）,第一百四十一頁，共一百六十五頁。,01:33,對于所有纖維材料，設(shè)其是理想(lǐxiǎng)脆性和突然損傷斷裂的，即有,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.5）,設(shè)在外載作用下，所有纖維的伸長應(yīng)變都是 ?。所有的纖維將保持彈性，若對所有的 x，有,（2.7.6）,可以證明，若 0?????1。則 x=0 處的纖維最先斷裂。反過來，則 x=1 處的纖維最先斷裂,第一百四十二頁，共一百六十五頁。,01:33,證明(zh232。ngm237。ng)：,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,因此，0?????1時， ?(x)/?R(x) 在x=0處取最大值，因而x=0處的纖維最先斷裂。反過來，則 x=1 處的纖維最先斷裂,第一百四十三頁，共一百六十五頁。,推導(dǎo)(tuīdǎo)：,01:33,設(shè)0?????1，x=0 處的纖維最先斷裂時對應(yīng)(du236。y236。ng)的載荷記為F0，其為,167。2.7.1 連續(xù)化的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維束模型,（2.7.7）,這樣 x 處的應(yīng)力為,由 可求得x=0處斷裂時的應(yīng)變?yōu)?從而這時橫截面上的載荷為,第一百四十四頁，共一百六十五頁。,01:33,載荷繼續(xù)增加時，越來越多的纖維發(fā)生斷裂，斷裂前緣 x=c 沿 x 的正向擴(kuò)展(ku242。zhǎn)。斷裂前緣的條件是,167。2.7.1 連續(xù)化的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.8）,相應(yīng)的橫截面上的載荷為,（2.7.9）,F(c) 的形狀取決于? 和 ? 的相對大小，下面討論。,第一百四十五頁，共一百六十五頁。,01:33,情形(q237。ng xing)1：,167。2.7.1 連續(xù)化的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.10）,當(dāng) F 達(dá)到 F0 時，纖維束開始從 x=0 處斷裂； F 增加，意味著纖維束總的承載能力還可以提高。當(dāng) 時，載荷達(dá)到最大值 。cm 的位置可由如下方程的根來確定,第一百四十六頁，共一百六十五頁。,01:33,情形(q237。ng xing)2：,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,當(dāng) F 達(dá)到 F0 時，纖維束幾乎在瞬間發(fā)生完全斷裂，即纖維束承受的最大載荷為 F0 。,情形3：,當(dāng) F 達(dá)到 F0 時，纖維束在瞬間發(fā)生完全斷裂，纖維束承受的最大載荷就為 F0 。,第一百四十七頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,不同情形(q237。ng xing)下F(c) 的形狀如圖所示：,思考：為什么與參數(shù) 有關(guān)？,提示：看確定cm的方程,第一百四十八頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,總結(jié)：對于不同 ? 和? 值的組合情形，整個(zhěngg232。)纖維板的破壞分漸進(jìn)破壞和瞬態(tài)破壞兩種情況。,注：原圖為圖2.19（馮余的損傷力學(xué)教材）。,第一百四十九頁，共一百六十五頁。,01:33,※討論一種簡單(jiǎndān)情況：??0,167。2.7.1 連續(xù)(li225。nx249。)化的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.11）,這時有,即所有纖維的彈性模量都相同。顯然，纖維束從 x=0 出開始斷裂。,斷裂前緣在 c 時，因?yàn)樗欣w維的E、?相同，因而這時應(yīng)力和載荷分別為,（2.7.12）,（2.7.13）,（2.7.14）,對比發(fā)現(xiàn)，這種情形下 c 就相當(dāng)于前面講的 Rabotnov 損傷模型中的損傷因子 ?，?? 相當(dāng)于有效應(yīng)力。,第一百五十頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.15）,（2.7.16）,首先(shǒuxiān)，假設(shè)纖維的彈性模量E(x) 和斷裂應(yīng)力 ?R(x) 仍然按如下分布,忽略彈性變形，設(shè)每根纖維的蠕變變形是線性粘性的，即,（2.7.17）,式中，?：蠕變應(yīng)變 ?：真實(shí)應(yīng)力（載荷除以變形后的真實(shí)面積） M：蠕變模量,第一百五十一頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變(r bi224。n)斷裂的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.18）,假設(shè)(jiǎsh232。) M 的分布為如下線性函數(shù),（2.7.19）,所有參數(shù)的范圍是：,設(shè)纖維的體積是不可壓的，則由真實(shí)應(yīng)力?和名義應(yīng)力?0 之間的關(guān)系易得,第一百五十二頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂的纖維(xiānw233。i)束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,由上面公式(gōngsh236。)(2.1719)可確定纖維發(fā)生初始斷裂前的應(yīng)力分布和應(yīng)變律分布分別為,（2.7.20）,（2.7.21）,推導(dǎo)：,第一百五十三頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂(du224。n li232。)的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,若 ???，則隨著(su237。 zhe)時間的增加，x=0 處的纖維最先斷裂；反過來， x=1處的纖維最先斷裂。設(shè)開始發(fā)生斷裂的時間為 t0 ，則有,（2.7.22）,推導(dǎo)：？？,第一百五十四頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變(r bi224。n)斷裂的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,設(shè) ???，則 t0?0 的條件(ti225。oji224。n)為,（2.7.23）,或者,即有,第一百五十五頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂(du224。n li232。)的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,討論(tǎol249。n)：,若F?F1，則加載之后，纖維立即出現(xiàn)斷裂。接著由于?和?的相互不同取值范圍，整個纖維束可能發(fā)生漸進(jìn)斷裂或者瞬態(tài)斷裂；,若Ft0 時，?? 和?? 分別對應(yīng) x=0和x=1處纖維開始斷裂，然后向另一側(cè)擴(kuò)展。,第一百五十六頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂(du224。n li232。)的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,（2.7.24）,其中(q237。zhōng),設(shè)?? 且 ?t0 時，在范圍 0?x?c(t) 內(nèi)所有的纖維已經(jīng)斷裂?？梢詫?dǎo)出纖維斷裂前緣的擴(kuò)展速度 和應(yīng)變律 的關(guān)系為：,（2.7.25）,第一百五十七頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變斷裂(du224。n li232。)的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,推導(dǎo)：在時間(sh237。jiān) t 時刻,第一百五十八頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變(r bi224。n)斷裂的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,由材料(c225。ili224。o)不可壓，有,第一百五十九頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變(r bi224。n)斷裂的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,方程(fāngch233。ng)兩邊對 t 求導(dǎo)數(shù),可得,第一百六十頁，共一百六十五頁。,01:33,167。2.7.2 蠕變(r bi224。n)斷裂的纖維束模型,2.7 一維的纖維(xiānw233。i)束模型,方程(fāngch233。ng),（2.7.26）,的最小根記為 。,在 c=cr 之前，速度 保持單調(diào)增加，一旦達(dá)到 cr，纖維束立即完全斷裂，因?yàn)? 將趨于無窮大！,第一百六十一頁，共一百六十五頁。,在 ??? 平面上，等 cr 線把區(qū)域分為三部分： 2條cr=0曲線之間的區(qū)域?qū)?yīng)(du236。y236。ng)的是纖維束的延遲