【導(dǎo)讀】3)+f<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函數(shù)g=－3x2+3x－4(x. 析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域.進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.xxx得且x≠0,故0<x<6,又∵f是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f=f,又f在上是減函。知：g在B上為減函數(shù)，∴gmax=g=－4.否存在實數(shù)m,使f+f>f對所有θ∈［0,若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.∞,0)上的增減性并加以證明.+cos2x)對任意x∈R都成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：∵f=0,∴原不等式可化為f［log2］≥f.又∵f為偶函數(shù)，且f在上為增函數(shù)，

　　

【正文】 (,0)21(,1210),21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([)131()111()51()21()11()211112111(])2)(1(11)2)(1(1[]1)2)(1(1[)131(22故原結(jié)論成立有時fnffnfnnffnfnfffffnnfffnfnfnnnnfnnnnfnnfnnf??????????????????????????????????????????????????????? ： (1)因污水處理水池的長為 x 米，則寬為x200米，總造價 y=400(2x+2179。x200)+248179。x200179。 2+80179。 200=800(x+x324)+1600,由題設(shè)條件 ?????????1620xx,160xx 解得 ≤ x≤ 16,即函數(shù)定義域為［ ， 16］ . (2)先研究函數(shù) y=f(x)=800(x+x324)+16000 在［ ,16］上的單調(diào)性，對于任意的 x1,x2∈［ ,16］ ,不妨設(shè) x1＜ x2,則 f(x2)－ f(x1)=800［ (x2－ x1)+324(1211 xx ? )］=800(x2－ x1)(1－21324xx ),∵ ≤ x1≤ x2≤ 16.∴ 0＜ x1x2＜ 162＜ 324,∴21324xx 1,即 1－21324xx ＜ x2－ x10,∴ f(x2)－ f(x1)＜ 0,即 f(x2)＜ f(x1),故函數(shù) y=f(x)在［ ,16］上是減函數(shù) .∴當(dāng) x=16 時， y取得最小值，此時， ymin=800(16+16324)+16000=45000(元 )，1620xx00?x=( 綜上，當(dāng)污水處理池的長為 16 米，寬為 米時，總造價最低，最低為 45000元 . ：∵ f(x)是奇函數(shù)，且在 (0,+∞ )上是增函數(shù)，∴ f(x)在 (－∞ ,0)上也是增函數(shù) . 又 f(1)=0,∴ f(－ 1)=－ f(1)=0,從而，當(dāng) f(x)＜ 0 時，有 x＜－ 1 或 0＜ x＜ 1, 則集合 N={m|f［ g(θ )］＜ θ ＝ } ={m|g(θ )＜－ 1 或 0＜ g(θ )＜ 1} , ∴ M∩ N={m|g(θ )＜－ 1 } .由 g(θ )＜－ 1,得 cos2θ m(cosθ － 2)+2,θ ∈［ 0,2?］ ,令 x=cosθ ,x∈［ 0,1］得： x2m(x－ 2)+2,x∈［ 0,1］，令①： y1=x2,x∈［ 0,1］及② y2=m(m－ 2)+2,顯然①為拋物線一段，② 是過 (2， 2)點的直線系，在同一坐標(biāo)系內(nèi)由 x∈［ 0,1］得 y1y2.∴ m4－ 2 2 ,故 M∩ N={m|m4－ 2 2 }. 難點 14 數(shù)列綜合應(yīng)用問題 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題 .這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用 有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度 . ●難點磁場 (★★★★★ )已知二次函數(shù) y=f(x)在 x=22?t處取得最小值－42t (t＞ 0),f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表達(dá)式； (2)若任意實數(shù) x 都滿足等式 f(x)178。 g(x)+anx+bn=xn+1［ g(x)］為多項式， n∈ N*),試用 t 表示 an 和 bn； (3)設(shè)圓 Cn 的方程為 (x－ an)2+(y－ bn)2=rn2，圓 Cn 與 Cn+1 外切 (n=1,2,3,? )。{rn}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記 Sn 為前 n 個圓的面積之和，求 rn、 Sn. ●案例探究 ［例 1］從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800 萬元，以后每年投入將比上年減少51，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為 400 萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加41. (1)設(shè) n 年內(nèi) (本年度為第 一年 )總投入為 an 萬元，旅游業(yè)總收入為 bn 萬元，寫出 an,bn 的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點 . 錯解分析： (1)問 an、 bn 實際上是兩個數(shù)列的前 n 項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二 次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差 . 技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧 . 解： (1)第 1 年投入為 800 萬元，第 2 年投入為 800179。 (1－51)萬元，?第 n年投入為 800179。 (1－51)n－ 1 萬元，所以， n 年內(nèi)的總投入為 an=800+800179。 (1－51)+? +800179。 (1－51)n－ 1=??nk1800179。 (1－51)k－ 1 =4000179。［ 1－ (54)n］ 第 1 年旅游業(yè)收入為 400 萬元，第 2 年旅游業(yè)收入為 400179。 (1+41)，?，第n 年旅游業(yè)收入 400179。 (1+41)n－ 1 萬元 .所以， n 年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400179。 (1+41)+? +400179。 (1+41)k－ 1=??nk1400179。 (45)k－ 1. =1600179。［ (45)n－ 1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過 n 年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此 bn－ an＞ 0，即： 1600179。［ (45)n－ 1］－ 4000179。［ 1－ (54)n］＞ 0，令 x=(54)n，代入上式得： 5x2－ 7x+2＞ ，得 x＜52，或 x＞ 1(舍去 ).即 (54)n＜52，由此得 n≥ 5. ∴至少經(jīng)過 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入 . ［例 2］已知 Sn=1+3121?+? +n1,(n∈ N*)設(shè) f(n)=S2n+1－ Sn+1,試確 定實數(shù) m 的取值范圍，使得對于一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式： f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－20xx［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 . 命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力 .屬★★★★★級題目 . 知識依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 . 錯解分析：本題學(xué)生很容易求 f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理 . 技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把 f(n)(n∈ N*)看作是 n 的函數(shù)，此時不等式的 恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù) f(n)的最小值大于［ logm(m－ 1)］ 2－20xx［ log(m－ 1)m］ 2. 解：∵ Sn=1+3121?+? +n1.(n∈ N*) 0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112????????????????????????????????? ??nnnnnnnnnnnfnfnnnSSnf nn又? ∴ f(n+1)＞ f(n) ∴ f(n)是關(guān)于 n 的增函數(shù) ∴ f(n) min=f(2)=20932 122 1 ???? ∴要使一切大于 1 的自然數(shù) n，不等式 f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－20xx［ log(m－ 1)m］ 2 恒成立 只要209＞［ logm(m－ 1)］ 2－20xx［ log(m－ 1)m］ 2 成立即可 由??? ???? ?? 11,01 1,0 mm mm得 m＞ 1 且 m≠ 2 此時設(shè)［ logm(m－ 1)］ 2=t 則 t＞ 0 于是????????0 2011209tt 解得 0＜ t＜ 1 由此得 0＜［ logm(m－ 1)］ 2＜ 1 解得 m＞251?且 m≠ 2. ●錦囊妙計 ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差 (比 )數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題 . ，解決一個應(yīng)用題，重點過三關(guān)： (1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力 . (2)文理關(guān)：需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 . (3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生 對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化 .構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力 . ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★ )已知二次函數(shù) y=a(a+1)x2－ (2a+1)x+1，當(dāng) a=1， 2，?， n，?時，其拋物線在 x 軸上截得的線段長依次為 d1,d2，? ,dn,? ,則 lim??n (d1+d2+? +dn)的值是 ( ) 二 、填空題 2.(★★★★★ )在直角坐標(biāo)系中， O 是坐標(biāo)原點， P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)是第一象限的兩個點，若 1， x1， x2， 4 依次成等差數(shù)列，而 1， y1， y2， 8 依次成等比數(shù)列，則△ OP1P2 的面積是 _________. 3.(★★★★ )從盛滿 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加滿，再倒出b 升，再用水加滿；這樣倒了 n 次，則容器中有純酒精 _________升 . 4.(★★★★★ )據(jù) 20xx 年 3 月 5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“ 20xx年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到 95933 億元，比上年增長 %，” 如果“十178。五”期間 (20xx年 ~20xx 年 )每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十178。五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為 _________億元 . 三、解答題 5.(★★★★★ )已知數(shù)列 {an}滿足條件： a1=1,a2=r(r＞ 0),且 {anan+1}是公比為q(q＞ 0)的等比數(shù)列，設(shè) bn=a2n－ 1+a2n(n=1,2,? ). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2＞ an+2an+3(n∈ N*)成立的 q 的取值范圍； (2)求 bn 和nn S1lim??，其中 Sn=b1+b2+? +bn； (3)設(shè) r=－ 1， q=21，求數(shù)列 {nnbb212loglog ? }的最大項和最小項的值 . 6.(★★★★★ )某公司全年的利潤為 b 元，其中一部分作為獎金發(fā)給 n 位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績 (工作業(yè)績均不相同 )從大到小，由 1 到 n 排序，第 1 位職工得獎金nb元，然后再將余額除以 n 發(fā)給第 2 位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金 . (1)設(shè) ak(1≤ k≤ n)為第 k 位職工所得獎金金額，試求 a2,a3，并用 k、 n 和 b 表示 ak(不必證明 )； (2)證明 ak＞ ak+1(k=1,2,? ,n－ 1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義； (3)發(fā)展基金與 n 和 b 有關(guān)，記為 Pn(b),對常數(shù) b，當(dāng) n 變化時，求 lim??nPn(b). 7.(★★★★ )據(jù)有關(guān)資料， 1995 年我國工業(yè)廢棄垃圾達(dá)到 179。 108 噸，占地 平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理 1 噸舊物資