【正文】 都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在239。237。間斷點237。 238。左右極限不相等（跳躍間斷點）239。第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在238。236。x2+1,x185。0例4考察函數f(x)=237。在x=0處得連續(xù)性238。0,x=0解 略例5考察函數f(x)=237。解 略236。1239。,x185。0例6考察函數f(x)=237。x在x=0處得連續(xù)性239。0,x=0238。236。x,x163。0238。x+1,x0在x=0處得連續(xù)性解 略三 連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性反函數與復合函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性：基本初等函數在它們的定義域內都是連續(xù)的．一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的．對于初等函數,由于連續(xù)性x174。x0limf(x)=f(x0),求其極限即等價于求函數的函數值四閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質定理1（最大值最小值定理）若函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值定理2（介值定理）若函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數C，至少存在一點x206。[a,b]，使得f(x)=C定理3（零點定理）若函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點x206。[a,b]，使得f(x)=0例7 證明x5+2x2=0在區(qū)間(0,1)內至少有一個實根 證明 略Ⅴ 小結與提問：Ⅵ 課外作業(yè)：習題18 2，5，7，9第五篇：高等數學基礎第二章極限與連續(xù)第二章 極限與連續(xù)一、教學要求，了解無窮小量的定義與基本性質，：極限的計算，函數連續(xù)性的性質及運算。難點：極限、連續(xù)的概念。二、課程內容導讀。求極限的常用方法有(1)利用極限的四則運算法則；(2)利用兩個重要極限；(3)利用無窮小量的性質（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；(4)利用連續(xù)函數的定義。例1 求下列極限：（1）limx174。09+sin3x3x1x（2）limsin(x1)2x174。1x1（3）lim(12x)x174。0x2+cos2x1（4）limx174。165。(x+sinx)2（5）lim(xe+x174。0x1)x1 解（1）對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即 limx174。09+sin3x3x =lim(9+sin3x3)(9+sin3x+3)x174。0x(9+sin3x+3)=limsin3x1 180。limx174。0x174。0x9+sin3x+3 =3180。11= 62（2）利用第一重要極限和函數的連續(xù)性計算，即 limsin(x1)sin(x1)=limx174。1x174。1(x+1)(x1)x21 =lim sin(x1)1 limx174。1x174。1x1x+111 =1180。=1+12（3）利用第二重要極限計算，即lim(12x)＝lim[(12x)x174。0x174。01x12x2]=e2。（4）利用無窮小量的性質（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）計算，即cos2x1cos2x11+lim[1+]22x174。165。x2+cos2x1xxlim= 1 =lim=2x174。165。(x+sinx)x174。165。sinx2sinx2(1+)lim(1+)x174。165。xxcos2x11sinx1注：其中當x174。165。時，=2(cos2x1)都是無窮小量乘以有=sinx，2xxxx界變量，即它們還是無窮小量。（5）利用函數的連續(xù)性計算，即lim(xe+x174。0x11)＝0e0+=1 x101 (1)知道數列極限、函數極限、左右極限的概念，知道函數在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且相等；(2)了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關系，知道無窮小量的性質；(3)了解函數在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)”的結論；會判斷函數在某點的連續(xù)性，會求函數的間斷點；例2 填空、選擇題(1)下列變量中，是無窮小量的為（）(x174。0+)(x174。1)x1x (x174。0)D.+x2(x174。2)2x4111174。+165。，故 ln174。+165。，ln不是無窮小量； xxx 選項B中：因為x174。1時，lnx174。0，故lnx是無窮小量； 解 選項A中：因為 x174。0時，11 選項C中：因為 x174。0時，故ex174。0；但是x174。0時，174。165。， 174。+165。，xx+1174。+165。，因此e當x174。0時不是無窮小量。x21x21x2 選項D中：因為2，故當x174。2時，2不是無窮小=174。，2x4x+2x44x4故e量。因此正確的選項是B。（2）下列極限計算正確的是（）。174。01x1x11=limxlimsin=0xx174。0x174。0xtan2xtan2x =lim2x=1x174。0sin2xx174。0sin2x2x (x2+xx)=limx174。165。x174。165。x2+xlimx=0x174。165。x+1x1x+1xx+11e1)=lim()lim()=1e=ex174。165。x1x174。165。x1x174。165。x1e1 解 選項A不正確。因為limsin不存在，故不能直接用乘積的運算法則，即x174。0x11limxsin185。limxlimsin x174。0xx174。0x174。0x (選項B正確。將分子、分母同除以2x，再利用第一個重要極限的擴展形式，得到tan2xtan2xlim=lim2x=1 x174。0sin2xx174。0sin2x2x 選項C不正確。因為x174。165。時，x+x174。165。，x174。165。，故不能直接用極限的減法運算法則，即2lim(x2+xx)185。limx2+xlimxx174。165。x174。165。x174。165。x+1x1)可以分成兩項乘積，即x174。165。x1x+1x1x+1xx+11lim()=lim()lim()x174。165。x1x174。165。x1x174。165。x1111+lim(1+)xx+1xx)x=x174。165。x=e 其中第一項lim()=lim(x174。165。x174。165。x111xe11lim(1)x174。165。xx11+x+11x)1=1185。e1 而第二項lim()=lim(x174。165。x174。165。x111x 選項D不正確。lim(故原算法錯誤。正確選項應是B。236。x+1（3）當k=（）時，f(x)=237。2238。x+kx179。0x0在x=0處連續(xù)。 B.－1 解 函數在一點連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因為函數已是右連續(xù)，且f(0)=0+1=12而左連續(xù)f(0)=lim(x+k)=k=f(0)x174。0 故當k=1時，f(x)在x=0處連續(xù)。正確的選項是D。