【正文】 都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在239。237。間斷點(diǎn)237。 238。左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）239。第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在238。236。x2+1,x185。0例4考察函數(shù)f(x)=237。在x=0處得連續(xù)性238。0,x=0解 略例5考察函數(shù)f(x)=237。解 略236。1239。,x185。0例6考察函數(shù)f(x)=237。x在x=0處得連續(xù)性239。0,x=0238。236。x,x163。0238。x+1,x0在x=0處得連續(xù)性解 略三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x174。x0limf(x)=f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（最大值最小值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值定理2（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)x206。[a,b]，使得f(x)=C定理3（零點(diǎn)定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點(diǎn)x206。[a,b]，使得f(x)=0例7 證明x5+2x2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略Ⅴ 小結(jié)與提問：Ⅵ 課外作業(yè)：習(xí)題18 2，5，7，9第五篇：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章極限與連續(xù)第二章 極限與連續(xù)一、教學(xué)要求，了解無窮小量的定義與基本性質(zhì)，：極限的計(jì)算，函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)及運(yùn)算。難點(diǎn)：極限、連續(xù)的概念。二、課程內(nèi)容導(dǎo)讀。求極限的常用方法有(1)利用極限的四則運(yùn)算法則；(2)利用兩個(gè)重要極限；(3)利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；(4)利用連續(xù)函數(shù)的定義。例1 求下列極限：（1）limx174。09+sin3x3x1x（2）limsin(x1)2x174。1x1（3）lim(12x)x174。0x2+cos2x1（4）limx174。165。(x+sinx)2（5）lim(xe+x174。0x1)x1 解（1）對分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即 limx174。09+sin3x3x =lim(9+sin3x3)(9+sin3x+3)x174。0x(9+sin3x+3)=limsin3x1 180。limx174。0x174。0x9+sin3x+3 =3180。11= 62（2）利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即 limsin(x1)sin(x1)=limx174。1x174。1(x+1)(x1)x21 =lim sin(x1)1 limx174。1x174。1x1x+111 =1180。=1+12（3）利用第二重要極限計(jì)算，即lim(12x)＝lim[(12x)x174。0x174。01x12x2]=e2。（4）利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）計(jì)算，即cos2x1cos2x11+lim[1+]22x174。165。x2+cos2x1xxlim= 1 =lim=2x174。165。(x+sinx)x174。165。sinx2sinx2(1+)lim(1+)x174。165。xxcos2x11sinx1注：其中當(dāng)x174。165。時(shí)，=2(cos2x1)都是無窮小量乘以有=sinx，2xxxx界變量，即它們還是無窮小量。（5）利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即lim(xe+x174。0x11)＝0e0+=1 x101 (1)知道數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限的概念，知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；(2)了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系，知道無窮小量的性質(zhì)；(3)了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論；會判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點(diǎn)；例2 填空、選擇題(1)下列變量中，是無窮小量的為（）(x174。0+)(x174。1)x1x (x174。0)D.+x2(x174。2)2x4111174。+165。，故 ln174。+165。，ln不是無窮小量； xxx 選項(xiàng)B中：因?yàn)閤174。1時(shí)，lnx174。0，故lnx是無窮小量； 解 選項(xiàng)A中：因?yàn)?x174。0時(shí)，11 選項(xiàng)C中：因?yàn)?x174。0時(shí)，故ex174。0；但是x174。0時(shí)，174。165。， 174。+165。，xx+1174。+165。，因此e當(dāng)x174。0時(shí)不是無窮小量。x21x21x2 選項(xiàng)D中：因?yàn)?，故當(dāng)x174。2時(shí)，2不是無窮小=174。，2x4x+2x44x4故e量。因此正確的選項(xiàng)是B。（2）下列極限計(jì)算正確的是（）。174。01x1x11=limxlimsin=0xx174。0x174。0xtan2xtan2x =lim2x=1x174。0sin2xx174。0sin2x2x (x2+xx)=limx174。165。x174。165。x2+xlimx=0x174。165。x+1x1x+1xx+11e1)=lim()lim()=1e=ex174。165。x1x174。165。x1x174。165。x1e1 解 選項(xiàng)A不正確。因?yàn)閘imsin不存在，故不能直接用乘積的運(yùn)算法則，即x174。0x11limxsin185。limxlimsin x174。0xx174。0x174。0x (選項(xiàng)B正確。將分子、分母同除以2x，再利用第一個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式，得到tan2xtan2xlim=lim2x=1 x174。0sin2xx174。0sin2x2x 選項(xiàng)C不正確。因?yàn)閤174。165。時(shí)，x+x174。165。，x174。165。，故不能直接用極限的減法運(yùn)算法則，即2lim(x2+xx)185。limx2+xlimxx174。165。x174。165。x174。165。x+1x1)可以分成兩項(xiàng)乘積，即x174。165。x1x+1x1x+1xx+11lim()=lim()lim()x174。165。x1x174。165。x1x174。165。x1111+lim(1+)xx+1xx)x=x174。165。x=e 其中第一項(xiàng)lim()=lim(x174。165。x174。165。x111xe11lim(1)x174。165。xx11+x+11x)1=1185。e1 而第二項(xiàng)lim()=lim(x174。165。x174。165。x111x 選項(xiàng)D不正確。lim(故原算法錯(cuò)誤。正確選項(xiàng)應(yīng)是B。236。x+1（3）當(dāng)k=（）時(shí)，f(x)=237。2238。x+kx179。0x0在x=0處連續(xù)。 B.－1 解 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因?yàn)楹瘮?shù)已是右連續(xù)，且f(0)=0+1=12而左連續(xù)f(0)=lim(x+k)=k=f(0)x174。0 故當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。正確的選項(xiàng)是D。