【正文】 的某去心鄰域內(nèi)有定義．在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：1．在沒有定義；2．雖在有定義，但不存在；3．雖在有定義，且存在，但；則函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．下面我們來觀察下述幾個(gè)函數(shù)的曲線在點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類：② ① 在連續(xù)． 在間斷，極限為2．③④ 在間斷，極限為2． 在間斷，左極限為2，右極限為1．⑥ 在 間斷⑤在間斷，極限不存在．像②③④這樣在點(diǎn)左右極限都存在的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的②③稱作第一類間斷的可去間斷，此時(shí)只要令，則在函數(shù)就變成連續(xù)的了；④被稱作第一類間斷中的跳躍間斷．⑤⑥被稱作第二類間斷，其中⑤也稱作無窮間斷，而⑥稱作震蕩間斷．就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)．不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)．在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)．無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)．P59 例1　、5練習(xí)：P61 3小結(jié)：本節(jié)介紹了函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)的分類．第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，立即可以得出下面的定理。定理1　若函數(shù)都在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)，也在點(diǎn)連續(xù)。例1　因?yàn)?，而都在?nèi)連續(xù)，所以在它們的定義域內(nèi)連續(xù)。二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2　如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。例2　由于在閉區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)，所以它的反函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)。同理，在閉區(qū)間上單調(diào)減少且連續(xù)；在區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù)；在區(qū)間上單調(diào)減少且連續(xù)。即反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)連續(xù)。定理3（略）例3（略）定理4　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也是連續(xù)。例4　討論函數(shù)的連續(xù)性。解　可看成復(fù)合而成。而在上連續(xù)，在上連續(xù)，所以在上連續(xù)。三、初等函數(shù)的連續(xù)性前面我們證明了三角函數(shù)與反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的。我們指出（不作證明）：指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)且連續(xù)，其值域?yàn)?，由反函?shù)的連續(xù)性可得，對(duì)數(shù)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)且連續(xù)。冪函數(shù)的定義域與有關(guān)，但無論為何值，在開區(qū)間內(nèi)總是有定義的。當(dāng)時(shí)，因此，它可以看成由復(fù)合而成，由定理4，它在內(nèi)連續(xù)。對(duì)于取各種不同值的情況分別加以討論，則可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。綜合可得：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的。根據(jù)初等函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的連續(xù)性及定理定理4可得：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限，往往比較方便。P64例5例8　 作業(yè)：P66 3.（1）、（2）、（3）、（4），4.（2）、（3）、（4）、（5），6小結(jié)：本節(jié)講述了連續(xù)函數(shù)的和、差、積及商的連續(xù)性、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性和初等函數(shù)的連續(xù)性。第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最大值與最小值 最大值與最小值: 對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x), 如果有x0206。I, 使得對(duì)于任一x206。I都有f(x)163。f(x0 ) (f(x)179。f(x0 )), 則稱f(x0 )是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）. 例如, 函數(shù)f(x)=1+sin x在區(qū)間[0, 2p]上有最大值2和最小值0. 又如, 函數(shù)f(x)=sgnx 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)有最大值 1和最小值1. 在開區(qū)間(0, +165。)內(nèi), sgn x的最大值和最小值都是1. 但函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a, b)內(nèi)既無最大值又無最小值. 定理1（有界性與最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1說明, 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 那么存在常數(shù)M0,使得對(duì)任一x206。[a, b]，滿足；且至少有一點(diǎn)x1206。[a, b], 使f(x1)是f(x)在[a, b]上的最大值, 又至少有一點(diǎn)x 2206。[a, b], 使f(x 2)是f(x)在[a, b]上的最小值. 如圖140. 注意: 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù), 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn), 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有界，也不一定有最大值或最小值. 例: 在開區(qū)間 考察函數(shù)y=tanx. 又如, 圖141所示的函數(shù)在閉區(qū)間[0, 2]上無最大值和最小值.二、零點(diǎn)定理與介值定理 零點(diǎn): 如果x0 使f(x0 )=0, 則x0 稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn). 定理2（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 且f(a)與f(b)異號(hào), 那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使f(x)=0.(圖142) 定理3（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A及f(b)=B,那么, 對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C, 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使得f(x )=C .定理3 的幾何意義: 連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少交于一點(diǎn). ((圖143) 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值. 34x 2+1=0在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個(gè)根. 證: 函數(shù)f(x)= x 34x 2+1在閉區(qū)間[0, 1]上連續(xù), 又f(0)=10, f(1)=20. 根據(jù)零點(diǎn)定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使得f(x)=0, 即 x 34x 2+1=0 (0x1). 這等式說明方程x 34x 2+1=0在區(qū)間（0, 1）內(nèi)至少有一個(gè)根是x . 小結(jié)：本節(jié)講述了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)