【正文】 ［１２］又，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)??其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)，最終幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考．”［３］另外，按照后一解讀，又可提出這樣一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)教育是否真有必要專(zhuān)門(mén)引入“幫助學(xué)生獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)目標(biāo)，還是可以將此直接歸屬于“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”? 第二，對(duì)于數(shù)學(xué)教育中的所說(shuō)的“活動(dòng)”是否應(yīng)與真正的數(shù)學(xué)(研究)活動(dòng)加以明確區(qū)分? 以下論述可以被看成對(duì)此提供了具體的解答：“‘?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)’??是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分．教師的課堂講授、學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)，是最主要的‘?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)’．”［９］但是，按照這樣的解讀，所謂的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與一般意義上的“學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”就不再有任何區(qū)別，那么，為什么要專(zhuān)門(mén)地引入“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)教育目標(biāo)呢? 更為一般地說(shuō)，究竟什么是數(shù)學(xué)教育中所謂的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的基本內(nèi)涵與主要特征? 第三，是否應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)對(duì)于活動(dòng)的直接參與，還是應(yīng)當(dāng)將“間接參與”也包括在內(nèi)?(如果突出“經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)字眼，這就是指，在此所指的究竟是“直接經(jīng)驗(yàn)”、還是應(yīng)當(dāng)同時(shí)包括所謂的“間接經(jīng)驗(yàn)”?)顯然，當(dāng)前的主流觀點(diǎn)認(rèn)為應(yīng)當(dāng)將“間接參與”也包括在內(nèi)；但是，按照這樣的理解，“過(guò)程性目標(biāo)”的實(shí)現(xiàn)無(wú)疑就將大打折扣，或者說(shuō)，這將成為這方面教學(xué)工作所面臨的一個(gè)重大挑戰(zhàn)，即如何能夠幫助學(xué)生通過(guò)“間接參與”獲得以“感受”、“經(jīng)歷”和“體驗(yàn)”等為主要特征的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”? 第四，由于(感性)經(jīng)驗(yàn)具有明顯的局限性，因此，應(yīng)認(rèn)真地去思考：在強(qiáng)調(diào)幫助學(xué)生獲得“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的同時(shí)，教學(xué)中是否也應(yīng)清楚地指明經(jīng)驗(yàn)的局限性，從而幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)超越經(jīng)驗(yàn)的必要性?當(dāng)然，如果將思維活動(dòng)也包括在內(nèi)，就應(yīng)進(jìn)一步去思考數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否也有其一定的局限性? 由于“經(jīng)驗(yàn)的局限性”事實(shí)上已經(jīng)成為一種“常識(shí)”：“我想，我們是否應(yīng)更多地思考如何‘對(duì)經(jīng)驗(yàn)的改造’，將經(jīng)驗(yàn)改造為科學(xué)，而不是成為孩子們創(chuàng)新思維的絆腳石”，在當(dāng)前就應(yīng)注意防止這樣一種傾向，即由于盲目追隨時(shí)髦而造成“常識(shí)的迷失”．第五，是否應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)關(guān)于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“一般活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的區(qū)分，這究竟是一種絕對(duì)的區(qū)分，還是只具有相對(duì)的意義?什么是這兩者的具體涵義? 由以下的“平民解讀”或許就可獲得這方面的直接啟示：“簡(jiǎn)單地說(shuō)，‘基本’是相對(duì)的，如我們上樓梯，當(dāng)你上到第二層時(shí)，第一層是基本的；你上到第二層，想上第三層時(shí)，這第二層便變成基本的了．”［１３］ 進(jìn)而，正如先前關(guān)于“數(shù)學(xué)思想”的分析，研究者在此顯然也面臨著“清楚界定”與“合理定位”這樣一個(gè)任務(wù)．第六，更為重要的是，數(shù)學(xué)教育為什么應(yīng)當(dāng)特別重視“幫助學(xué)生獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，乃至將此列為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一? 作為上述問(wèn)題的具體解答，顯然應(yīng)當(dāng)提到以下的觀點(diǎn)：“教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧．知識(shí)的主要載體是書(shū)本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中”；從而，為了幫助學(xué)生形成智慧，就應(yīng)更加重視過(guò)程，更加重視學(xué)生對(duì)于活動(dòng)的直接參與［１２］．但是，這里應(yīng)更為深入地思考：數(shù)學(xué)教學(xué)中希望學(xué)生形成的究竟是一種什么樣的智慧，是簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)積累，還是別的什么智慧? 在此還可通過(guò)“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的簡(jiǎn)單比較來(lái)進(jìn)行分析，這就是指，數(shù)學(xué)的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是否與“數(shù)學(xué)思想”一樣具有超出數(shù)學(xué)本身的普遍意義，從而即使對(duì)于大多數(shù)將來(lái)未必會(huì)從事任何與數(shù)學(xué)直接相關(guān)工作的學(xué)生仍可起到積極的作用?容易想到，這事實(shí)上也正是任一諸如“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)”這樣的主張所應(yīng)認(rèn)真思考的問(wèn)題．當(dāng)然，與純粹的理論分析相比較，研究者在此也應(yīng)更加重視“理論的實(shí)踐性解讀”，包括通過(guò)積極的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)與反思對(duì)相關(guān)理論作出必要的檢驗(yàn)與改進(jìn)．另外，就認(rèn)識(shí)的不斷深入而言，又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”，這也就是指，研究者應(yīng)當(dāng)努力超越各個(gè)具體的教學(xué)活動(dòng)，并從更為一般的角度去進(jìn)行總結(jié)與反思．即如揭示出具有較大普遍性的問(wèn)題，引出具有較大普遍意義的結(jié)論，等等．以下就是這方面的一個(gè)實(shí)例，即是“關(guān)于獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的3點(diǎn)認(rèn)識(shí)“：(1)經(jīng)驗(yàn)在經(jīng)歷中獲得．(2)經(jīng)歷了≠獲得了．(3)經(jīng)驗(yàn)，并非總是親歷所得［１４］．從“教學(xué)實(shí)踐的理論性反思”這一角度去分析，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：(1)教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生有所收獲，更應(yīng)注意分析學(xué)生所獲得的究竟是什么．因?yàn)椋@正是這方面不應(yīng)被忽視的一個(gè)事實(shí)：人們經(jīng)由(數(shù)學(xué))活動(dòng)所獲得的未必是數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也可能與數(shù)學(xué)完全無(wú)關(guān)．以下就是國(guó)際上相關(guān)研究的一個(gè)直接結(jié)論：兒童完全可能“通過(guò)操作對(duì)概念進(jìn)行運(yùn)算，但卻不知道自己在做什么”；這也就是指，盡管“旁觀者確實(shí)可以將它解釋為數(shù)學(xué)，因?yàn)樗煜?shù)學(xué)，也了解實(shí)驗(yàn)過(guò)程中兒童的活動(dòng)是什么意思，可是兒童并不知道．”［１５］由此可見(jiàn)，不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于活動(dòng)的參與，而應(yīng)更加重視對(duì)這些活動(dòng)教學(xué)涵義的分析．也即應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度深入分析這些活動(dòng)的教學(xué)意義，并通過(guò)自己的教學(xué)使學(xué)生也能十分清楚和明白．(2)如何促進(jìn)學(xué)生由“經(jīng)歷”向“獲得”的重要轉(zhuǎn)化．更為一般地說(shuō)，這顯然也關(guān)系到這樣一個(gè)問(wèn)題，即是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)“為動(dòng)手而動(dòng)手”，而應(yīng)更加重視對(duì)于操作層面的必要超越，努力實(shí)現(xiàn)“活動(dòng)的內(nèi)化”．但是，究竟什么是這里所說(shuō)的“活動(dòng)的內(nèi)化”的具體涵義呢? 對(duì)于自己所提出的這一概念，瑞士著名心理學(xué)家、哲學(xué)家皮亞杰曾作過(guò)這樣的解釋?zhuān)哼@主要是指這樣一種思維活動(dòng)，即是辨識(shí)出“動(dòng)作的可以予以一般化的特征”．由此可見(jiàn)，“活動(dòng)的內(nèi)化”事實(shí)上就是一種建構(gòu)的活動(dòng)，也即如何能由具體的活動(dòng)抽象出相應(yīng)的模式(圖式化)． 從而，數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)主要關(guān)注的就并非活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，而應(yīng)更加重視如何能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的思維發(fā)展，后者又不可能通過(guò)反復(fù)的實(shí)踐簡(jiǎn)單地得以實(shí)現(xiàn)(“熟能生巧”)，而主要是一種反思性的活動(dòng)，也即是以已有的東西(活動(dòng)或運(yùn)演)作為直接的對(duì)象，并就主要表現(xiàn)為由較低層次向更高層次的發(fā)展．(也正是在這樣的意義上，才可談及數(shù)學(xué)抽象與一般自然科學(xué)中的抽象活動(dòng)的重要區(qū)別，并稱(chēng)之為“自反抽象”．)依據(jù)上面的分析，可以很好地理解以下一些論述：“只要兒童沒(méi)能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次．”［１５］又，“數(shù)學(xué)化一個(gè)重要的方面就是反思自己的活動(dòng)．從而促使改變看問(wèn)題的角度．”“數(shù)學(xué)化和反思是互相緊密聯(lián)系的．事實(shí)上我認(rèn)為反思存在于數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面．”［１６］ 綜上可見(jiàn)，從數(shù)學(xué)教育的角度看，“智慧的教育”決不應(yīng)被理解成經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，而應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維由較低層次向更高層次的發(fā)展，也即應(yīng)當(dāng)明確肯定“數(shù)學(xué)智慧”的反思性質(zhì)．四、關(guān)于“核心概念”的若干思考就“新課標(biāo)”中所提到的10個(gè)“核心概念”(數(shù)感；符號(hào)意識(shí)；空間觀念；幾何直觀；數(shù)據(jù)分析觀念；運(yùn)算能力；推理能力；模型思想；應(yīng)用意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí))而言，應(yīng)當(dāng)說(shuō)也存在一些明顯的問(wèn)題：第一，這些概念明顯地不屬于同一層次．“的確，這些核心概念的分類(lèi)，還沒(méi)有非常嚴(yán)格的嚴(yán)謹(jǐn)性在里面??也許我們數(shù)學(xué)教育的研究基礎(chǔ)還不足以作一個(gè)很好的分類(lèi)．”第二，詞語(yǔ)的意義有待于說(shuō)明或澄清，特別是，究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解“感(悟)”、“意識(shí)”、“觀念”、“直觀”、“能力”、“思想”等詞語(yǔ)的意義與區(qū)別? 例如，為了表述上的一致性，能否將“模型思想”改為“建模能力”，或是將“推理能力”改為“推理思想”? 第三，這10個(gè)概念不能被看成已經(jīng)很好地覆蓋了基礎(chǔ)教育各個(gè)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容．例如，與所謂的“數(shù)學(xué)基本思想”相對(duì)應(yīng)，除去“推理能力”和“模型思想”以外，是否還應(yīng)增加“抽象能力”這樣一個(gè)“核心概念”?另外，由于“策略思想“對(duì)于數(shù)學(xué)顯然也具有特別的重要性，是否又應(yīng)增加“策略思想”這樣一個(gè)核心概念? 第四，更為重要的是，又應(yīng)如何去把握基礎(chǔ)教育各個(gè)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容? 作為上述問(wèn)題的具體分析，在此特別提及國(guó)際上的一項(xiàng)研究成果［１７］：這正是世界范圍內(nèi)以“課程標(biāo)準(zhǔn)”為主要特征的新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)共同特征，即是普遍地采用了平行地列舉出數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的各項(xiàng)“標(biāo)準(zhǔn)”這樣一種表述方式(可稱(chēng)為“條目并列式”)，從而也就與傳統(tǒng)的“學(xué)科核心式”構(gòu)成了鮮明對(duì)照：然而，這又正是“條目并列式”的一個(gè)主要不足，即是不利于人們較好地掌握各個(gè)學(xué)段的主要教學(xué)內(nèi)容．另外，美國(guó)“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”歷史演變過(guò)程的具體考察表明：“不穩(wěn)定、不連貫、不統(tǒng)一正是‘條目并列式’最為明顯的特征”，從而也就無(wú)可避免地對(duì)實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生了嚴(yán)重的消極影響．顯然，這也為教育工作者在這方面的具體工作敲響了警鐘，即是應(yīng)當(dāng)切實(shí)防止工作中的隨意性．那么，“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中究竟為什么要引入所謂的“核心概念”呢?以下就是一些相關(guān)的論述： “核心概念的設(shè)計(jì)與課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)、課程內(nèi)容實(shí)質(zhì)的理解以及教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)的把握有密切關(guān)系．”又，“核心概念提出的目標(biāo)之一，就是在具體的課程內(nèi)容與課程的總體目標(biāo)之間建立起聯(lián)系．通過(guò)把握這些核心概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)．”“數(shù)學(xué)內(nèi)容的4個(gè)方面都以10個(gè)核心概念中的一個(gè)或幾個(gè)為統(tǒng)領(lǐng)，學(xué)生對(duì)這些核心概念的體驗(yàn)與把握，是對(duì)這些內(nèi)容的真正理解和掌握的標(biāo)志．”［１８］但是，在此仍然存在這樣一個(gè)問(wèn)題，即，究竟應(yīng)當(dāng)如何去把握基礎(chǔ)教育各個(gè)學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容? 另外，就如以上關(guān)于“數(shù)學(xué)基本思想”和“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“的分析，就“核心概念”的學(xué)習(xí)與貫徹而言，也應(yīng)特別重視“理論的實(shí)踐性解讀”與“實(shí)踐的理論性反思”．以下就圍繞“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”、并主要針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作出具體分析．(1)“數(shù)感”與學(xué)生“數(shù)感”的發(fā)展．“新課標(biāo)”中關(guān)于‘‘?dāng)?shù)感”的論述是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟．建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系．” 在此特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：①數(shù)感有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程．具體地說(shuō)，盡管人們?cè)谶@方面有一定的先天能力，但后者又有明顯的局限性，其發(fā)展則主要依靠后天的學(xué)習(xí)，并可依據(jù)．“從無(wú)到有、從粗糙到精確”、“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由單一到多元”這樣的認(rèn)識(shí)去把握這一過(guò)程．例如，就“數(shù)與數(shù)量”而言，首先就涉及到了數(shù)的概念的不斷擴(kuò)展，特別是小數(shù)和分?jǐn)?shù)的引入．另外，就每種數(shù)的認(rèn)識(shí)而言，又都涉及到了適當(dāng)?shù)男睦肀碚鞯慕?gòu)，即，不僅應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過(guò)數(shù)數(shù)去認(rèn)識(shí)各個(gè)具體的自然數(shù)，也應(yīng)通過(guò)記數(shù)法的學(xué)習(xí)使學(xué)生有可能“接觸”到現(xiàn)實(shí)生活中很難直接遇及的各種“大數(shù)”，直至初步認(rèn)識(shí)數(shù)的無(wú)限性，還應(yīng)通過(guò)引入直觀表示幫助學(xué)生建立概念的視覺(jué)形象，從而發(fā)展起更為豐富的心理表征． 再例如，“數(shù)量關(guān)系”顯然也具有多樣性的特征，包括運(yùn)算的多樣性以及相等與不相等的關(guān)系等；另外，就各種運(yùn)算的具體實(shí)施而言，顯然又都有一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程．例如對(duì)于“單位數(shù)的加法”就可區(qū)分出3種不同的水平，反映了主體對(duì)于數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)的不斷擴(kuò)展與深化．②在教學(xué)中并應(yīng)十分重視與“數(shù)感“直接相關(guān)的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的培養(yǎng)．例如，這顯然就可被看成后者的一個(gè)基本涵義，即是對(duì)于事物數(shù)量方面的敏感性，特別是，樂(lè)于計(jì)算，樂(lè)于從事數(shù)量分析，而不是對(duì)此感到恐懼，甚至更以“數(shù)盲”，作為“理論性反思”，又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)由素樸的情感(感悟)向更為自覺(jué)的認(rèn)識(shí)的過(guò)渡，后者即是指，人們應(yīng)當(dāng)超出單純的工具觀念、并從整體性文化的視角更為深入地認(rèn)識(shí)數(shù)量分析的意義． 事實(shí)上，這正是中西方文化的一個(gè)重要差異．西方文化在很大程度上可以被看成一種“數(shù)學(xué)文化”，對(duì)此例如由所謂的“畢達(dá)哥拉斯一柏拉圖傳統(tǒng)”就可清楚地看出．即是認(rèn)為數(shù)量關(guān)系構(gòu)成了一切事物和現(xiàn)象的本質(zhì)，西方并因此形成了“由定量到定性”的研究傳統(tǒng)，后者又正是導(dǎo)致現(xiàn)代意義上的自然科學(xué)在西方形成的一個(gè)重要原因．與此相對(duì)照，由于“儒家文化”的主導(dǎo)地位，中國(guó)的文化傳統(tǒng)卻始終未能清楚地認(rèn)識(shí)并充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值． 由此可見(jiàn)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值應(yīng)當(dāng)成為中國(guó)數(shù)學(xué)教師自覺(jué)承擔(dān)的一項(xiàng)重要社會(huì)責(zé)任．(2)“符號(hào)意識(shí)”與代數(shù)思想．就“符號(hào)意識(shí)”而言，特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)：①與“數(shù)感”一樣，“符號(hào)意識(shí)”也有一個(gè)后天的發(fā)展過(guò)程；又由于符號(hào)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用顯然已經(jīng)超出了單純感悟的范圍，也即主要表現(xiàn)為自覺(jué)的認(rèn)識(shí)，因此，“新課標(biāo)”中將原來(lái)的“符號(hào)感”改成“符號(hào)意識(shí)”就是較為合理的．(也應(yīng)從同一角度去理解“代數(shù)思想”這一術(shù)語(yǔ)的使用，即是表明主體的自覺(jué)程度有了更大的提高．)②盡管小學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)包含有多種不同的符號(hào)，如數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)等，但又只有聯(lián)系“代數(shù)思想”去進(jìn)行分析思考，才能更好地理解與把握“符號(hào)意識(shí)”的內(nèi)涵與作用，包括如何能在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中很好地滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，不僅真正做到居高臨下，也能很好體現(xiàn)教學(xué)的整體性． 具體地說(shuō)，文字符號(hào)的引入顯然是區(qū)分小學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要標(biāo)志，而其主要功能之一就在于為數(shù)學(xué)抽象提供了必要的工具．后者事實(shí)上也正是代數(shù)思想的一個(gè)基本內(nèi)涵一一“代數(shù)即概括”［２０］ 當(dāng)然，由小學(xué)數(shù)學(xué)向中學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)渡還表現(xiàn)于方程方法的學(xué)習(xí)．但是，究竟什么是方程方法與算術(shù)方法的主要區(qū)別，特別是，這是否就是指用字母表示(未知)數(shù)? 盡管用字母表示(未知)數(shù)，的確可被看成利用方程解決問(wèn)題的必要前提，但著眼點(diǎn)的變化又應(yīng)被看成由算術(shù)方法向方程方法過(guò)渡的真正要點(diǎn)．也即，將著眼點(diǎn)由唯一集中于如何求取未知數(shù)和具體的運(yùn)算過(guò)程轉(zhuǎn)移到等量關(guān)系的分析．進(jìn)而，由于在代數(shù)中已將方程的求解歸結(jié)到相應(yīng)算法的直接應(yīng)用，從而就不再需要任何特殊的技巧或方法，這樣，解題的過(guò)程也就被極大地簡(jiǎn)化了．因此可以斷言：“等價(jià)是代數(shù)中的一個(gè)核心觀念．”另外，還應(yīng)指出的是，算法的應(yīng)用十分清楚地表明了數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)：與“縮寫(xiě)意義上的符號(hào)”不同，這主要應(yīng)被看成“操作意義上的符號(hào)”．例如，基于這樣的思考，韋達(dá)常常被說(shuō)成代數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者．因?yàn)?，盡管早在古希臘時(shí)代人們就己開(kāi)始用字母代表數(shù)量，但韋達(dá)在歷史上首先提出了這樣一個(gè)思想(他稱(chēng)為“逼真算法”)；可以用字母表示已知量和未知量，并對(duì)此進(jìn)行純形式的操作．容易想到，符號(hào)性質(zhì)的上述變化事實(shí)上也可被看成一個(gè)“客體化”的過(guò)程，這也就是指，在此己不再唯一地關(guān)注符號(hào)的指稱(chēng)意義，而是將此看成直接的對(duì)象．當(dāng)然，從發(fā)展的角度看，又應(yīng)當(dāng)提及“符號(hào)意識(shí)”的進(jìn)一步變化，即是將字母看成變量．這樣，“代數(shù)不僅僅成為關(guān)于方程和解方程的研究，也逐步發(fā)展成涵蓋函數(shù)(及其表征形式)和變換的研究”．．綜上可見(jiàn)，只有聯(lián)系代數(shù)思想(概括的思想，等價(jià)的思想與算法的思想)進(jìn)行分析，才能更好地理解“符號(hào)意識(shí)” 的具體內(nèi)涵．當(dāng)然，這正是教學(xué)工作創(chuàng)造性質(zhì)的一個(gè)重要表現(xiàn)，即，如何能