高中新課程數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教b版必修一111集合的概念教案-資料下載頁
2024-12-08 20:17本頁面
【導(dǎo)讀】如何給集合分類?集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、??元素通常用小寫的拉丁字母表示，要注意“∈”的方向，不能把a∈A顛倒過來寫.，}0{，0等符號的含義。非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N*或N+，Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進”.在和眾多反對之聲之由來.而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時，他是把無限的。學(xué)家的批評與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮.而當(dāng)他得出這一結(jié)論時，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個而已.這是何等令人震驚的結(jié)果！
【正文】 R 屬于 R，則 R 滿足 R 的定義，因此 R 不應(yīng)屬于自身，即 R 不屬于 R；另一方面，如果 R 不屬于 R，則 R 不滿足 R 的定義，因此 R 應(yīng)屬于自身，即 R屬于 ，不論何種情況都存在著矛盾 .這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論 漏洞辯解的余地 .絕對嚴密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中 .這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機 .危機產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機的工作中去 .1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱 ZF 公理系統(tǒng) .原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn) .這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論 .與此相對應(yīng)，在 1908 年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論 .公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理 .它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了 第三次數(shù)學(xué)危機 .公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去 .從康托爾提出集合論至今，時間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對上述經(jīng)典集合論作出進一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等 .而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的 .因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻時，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評價作為我們的總結(jié) . 它是對無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高 成就之一 . 超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一 . 這個成就可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作 . 康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)學(xué)的最令人不安的獨創(chuàng)性貢獻之一 . 注：整系數(shù)一元 n 次方程的根，叫代數(shù)數(shù) .如一切有理數(shù)是代數(shù)數(shù) .大量無理數(shù)也是代數(shù)數(shù) .如根號 是方程 x22=0 的根 .實數(shù)中不是代數(shù)數(shù)的數(shù)稱為超越數(shù) .相比之下，超越數(shù)很難得到 .第一個超越數(shù)是劉維爾于 1844 年給出的 .關(guān)于π是超越數(shù)的證明在康托爾的研究后十年才問世 .
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