【正文】 ing Sin and Cos: 242。2p0R(sint,cost)dteit=z=242。|z|=1f(z)dz=2piRes(f,z0) 授課實施方案： CalculateI=242。2p0dt,(a1).a+sint啟發(fā)式教學法，以講授為主，講練結(jié)合。討論、思考題、作業(yè)：思考：將區(qū)間映射為圓的半徑必須是1嗎？ 作業(yè)： P262 Exercises 1 參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第七章，第3節(jié)，VII Application of Residues Argument Principle and Rouche’s Theorem 課時安排：2 教學方式：理論講授 教學目的和要求：理解亞純函數(shù)的定義，了解輔角與繞原點的圈數(shù)的關(guān)系，掌握輔角原理，掌握儒歇定理，會使用儒歇定理求方程根的個數(shù)。教學內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。1． Argument Principle Meromorphic function 1 DCargf(z)=ZP,’s Theorem f and g are analytic inside and on a simple closed curve C, | f(z)||g(z)|onC,thenfandf+：啟發(fā)式教學法，以講授為主，講練結(jié)合。討論、思考題、作業(yè)：思考：將區(qū)間映射為圓的半徑必須是1嗎？ 作業(yè)：P270 Exercises 2(b),3(c),4 參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 2000.第五篇：復(fù)變函數(shù)課后習題答案習題一答案1．求下列復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：（1）（2）（3）（4）解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）因此，2．將下列復(fù)數(shù)化為三角表達式和指數(shù)表達式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）3．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．設(shè)試用三角形式表示與解：，所以，5．解下列方程：（1）（2）解：（1）由此，（2），當時，對應(yīng)的4個根分別為：6．證明下列各題：（1）設(shè)則證明：首先，顯然有；其次，因固此有從而。（2）對任意復(fù)數(shù)有證明：驗證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，那么也是它的一個根。證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)則，由此得到：由此說明：若為實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，則也是。結(jié)論得證。（4）若則皆有證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。（5）若，則有證明：，因為，所以，因而，即，結(jié)論得證。7．設(shè)試寫出使達到最大的的表達式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有，在上面兩個不等式都取等號時達到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此，8．試用來表述使這三個點共線的條件。解：要使三點共線，那么用向量表示時，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到：三個點共線的條件是為實數(shù)。9．寫出過兩點的直線的復(fù)參數(shù)方程。解：過兩點的直線的實參數(shù)方程為：，因而，復(fù)參數(shù)方程為：其中為實參數(shù)。10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實參數(shù)）（1）（2）（3）解：只需化為實參數(shù)方程即可。（1），因而表示直線（2），因而表示橢圓（3），因而表示雙曲線11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)證明：圓周的實方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得記，則，由此得到，結(jié)論得證。12．證明：幅角主值函數(shù)在原點及負實軸上不連續(xù)。證明：首先，在原點無定義，因而不連續(xù)。對于，由的定義不難看出，當由實軸上方趨于時，而當由實軸下方趨于時，由此說明不存在，因而在點不連續(xù)，即在負實軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得即表示一個圓周。對于，其方程可表示為代入映射函數(shù)中，得因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。14．指出下列各題中點的軌跡或所表示的點集，并做圖：解：（1），說明動點到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。（2）是由到的距離大于或等于的點構(gòu)成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點集。（3）說明動點到兩個固定點1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個橢圓。代入化為實方程得（4）說明動點到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點的與軸正向夾角為的射線。15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。（1），以原點為心，內(nèi)、外圓半徑分別為3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通（2），頂點在原點，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通（3），顯然，并且原不等式等價于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3，是一無界，多連通區(qū)域。（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應(yīng)為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。（5），代入，化為實不等式，得所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。習題二答案1．指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點，并求出可導(dǎo)點的導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點為，即，（4）的奇點為，2．判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點的導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）解：根據(jù)柯西—黎曼定理：（1），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)處處不解析。（2），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)，因可導(dǎo)點集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。（3），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，并且處處滿足柯西—黎曼方程因此，函數(shù)處處可導(dǎo)，處處解析，且導(dǎo)數(shù)為（4），因函數(shù)的定義域為，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。3．當取何值時在復(fù)平面上處處解析？解：，由柯西—黎曼方程得：由（1）得，由（2）得，因而，最終有4．證明：若解析，則有證明：由柯西—黎曼方程知，左端右端，證畢。5．證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）（5）證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0！（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得（1）而由的解析性，又有（2）由（1）、（2）知，因此即為常數(shù)（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關(guān)，因而，從而為常數(shù)。（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得（1）因解析，所以又有（2）求解方程組（1）、（2），得，說明皆與無關(guān)，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。（4）同理，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有（5）同前面一樣，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。6．計算下列各值（若是對數(shù)還需求出主值）（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2），為任意整數(shù)，主值為：（3），為任意整數(shù)主值為：（4）（5），為任意整數(shù)（6），當分別取0，1，2時得到3個值：，7．求和解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，（為任意整數(shù)）8．設(shè)，求解：，因此9．解下列方程：（1）（2）（3）（4）解：（1）方程兩端取對數(shù)得：（為任意整數(shù)）（2）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，應(yīng)有（3）由三角函數(shù)公式（同實三角函數(shù)一樣），方程可變形為因此即，為任意整數(shù)（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)10．證明羅比塔法則：若及在點解析，且，則，并由此求極限證明：由商的極限運算法則及導(dǎo)數(shù)定義知，由此，11．用對數(shù)計算公式直接驗證：（1）（2）解：記，則（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。（2）左端右端其中為任意整數(shù)，而不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應(yīng)；反之，對于右端任意的，當為偶數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)，而當為奇數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)。綜上所述，左右兩個集合中的元素相互對應(yīng)，即二者相等。12．證明證明：首先有，因此，第一式子證畢。同理可證第二式子也成立。13．證明（即）證明：首先，右端不等式得到證明。其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學中的單調(diào)性方法可以證明時，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。14．設(shè)，證明證明：由復(fù)數(shù)的三角不等式，有，由已知，再主要到時單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。15．已知平面流場的復(fù)勢為（1）（2）（3）試求流動的速度及流線和等勢線方程。解：只需注意，若記，則流場的流速為，流線為，等勢線為，因此，有（1）流速為，流線為，等勢線為（2）流速為，流線為，等勢線為（3）流速為，流線為，等勢線為習題三答案1．計算積分，其中為從原點到的直線段解：積分曲線的方程為，即，代入原積分表達式中，得2．計算積分，其中為（1）從0到1再到的折線（2）從0到的直線解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達式中，得；（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達式中，得，對上述積分應(yīng)用分步積分法，得3．積分，其中為（1）沿從0到（2）沿從0到解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達式中，得（2）積分曲線的方程為，代入積分表達式中，得4．計算積分，其中為（1）從1到+1的直線段（2）從1到+1的圓心在原點的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得（2）的方程為，代入，得5．估計積分的模,其中為+1到1的圓心在原點的上半圓周。解：在上，=1，因而由積分估計式得的弧長6．用積分估計式證明：若在整個復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時其中為圓心在原點半徑為的正向圓周。證明：記，則由積分估計式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。7．通過分析被積函數(shù)的奇點分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。（1）（2）（3）（4）（5）解：各積分的被積函數(shù)的奇點為：（1），（2）即，（3）（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點不難看出，上述奇點的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。8．計算下列積分：（1）（2）（3）解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：（1）（2）（3）9．計算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。解：被積函數(shù)的奇點為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分公式：（3）同理，當在內(nèi)，在外時，（4）皆在內(nèi)此時，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：注：此題若分解，則更簡單！10．計算下列各積分解：（1），由柯西積分公式（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點，故此同上題一樣：（3）在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點1，故此（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式11．計算積分，其中為（1）（2）（3）解：（1）由柯西積分公式（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式（3）由復(fù)合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。12．積分的值是什么？并由此證明解：首先，由柯西基本定理，因為被積函數(shù)的奇點在積分曲線外。其次，令，代入上述積分中，得