【正文】 ++++52)+（15=1653++L+1n11n)＝1+13361214001++1121400=1+23893600(11+24003600.放縮二：1n1n1=(n+1)(n1)=2n1n+1),(n179。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數歸——加強命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。1233。11*(k179。2,k206。N)234。2235。k(k1)k(k+1)1n+k163。n+kn1k!163。+1n+2+...+kn+11(k179。3)(k179。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。N+)，求證：229。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1n1而:++715+...+212n+11179。n==法2：放縮后裂項求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數歸，但是直接去證是不行的，要轉化為一個加強命題4．定義數列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。N*證明：（1）對于n206。N恒有an+1an成立。2**（2）當n2且n206。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。解：（1）用數學歸納法易證。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進行適當的放縮。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。5．已知數列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉化為證明加強命題）已知函數f(x)=ln(1+x)x，數列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數列{an}的通項公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當1x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞增函數；當x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞減函數．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當x=0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數列，首項為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1232。20，則1246。n+2230。ln231。1+=ln 247。n+1n+1248。n+1232。1∴n231。+3+L+345n+1n+2246。246。230。nln+ln+ln+L+ln+ln247。231。247。 n+1248。234nn+1232。248。n+2246。n+2=nl=n+247。n+1248。2=n231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數學歸納法 法3：函數法（求導），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第五篇：數學放縮法放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進）一些項（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應用函數的單調性進行放縮（5）根據題目條件進行放縮。（6）構造等比數列進行放縮。（7）構造裂項條件進行放縮。（8）利用函數切線、割線逼近進行放縮。使用放縮法的注意事項（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。先介紹工具柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）均值不等式調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數絕對值三角不等式定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．常用放縮思想這幾個務必牢記不常見不常用的不等式這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂項部分當年apug與V_First研究的題二項平方和f（x）=（a1xb1）^2+（a2xb2）^2+……(anxbn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0