【正文】 =4a=234231。247。231。247。231。247。231。2247。231。1247。231。5247。231。7247。231。0247。232。248。232。248。232。248。232。248。是線性（填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個極大線性無關(guān)組是。3．向量組，230。1246。230。4246。231。247。231。247。2247。4231。h1=h2+h3=231。247。231。3247。231。4247。231。231。231。4247。247。231。4247。247。R(A)232。248。，Ax=b的三個解，其中A的秩232。248。，則方程組Ax=b的通解為。=3，4． 已知h1,h2,h3是四元方程組233。231249。A=234。234。1a15．設(shè)234。235。503，且秩(A)=2，則a=。四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。233。234。121249。A=234。3421．已知A+B=AB，且234。22235。1，求矩陣B。=(1,1,1,1),b=(1,1,1,1)，而A=aTb，求An。236。239。x1+x2+ax3=1239。237。x239。1x2+2x3=1239。x++x3=a2有無窮多解，求a以及方程組的通解。f(x,x22212,x3)=x12x22x34x1x2+4x1x3+8x2x35． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2EA|=0。（1）求矩陣A的特征值；（求|A+3E|。五．證明題（每題5分，共10分）。1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，ABBA是否為對稱矩陣？證明你的結(jié)論。2．設(shè)A為m180。n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷ATA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。2）A是否可相似對角化？為什么？；（73）第五篇：05062線性代數(shù)試題A答案1二、求矩陣230。5231。231。2231。0231。231。0232。210000850246。247。0247。3247。247。2247。248。的逆陣（10分）解設(shè)5A=230。231。2232。2246。, 230。8B=231。1247。248。232。53246。2分2247。248。1則1, 83=230。23246。6分 52246。=230。12246。B1=230。231。52246。247。231。58247。A1=230。231。21247。231。25247。232。248。232。248。232。248。232。248。于是230。5231。2231。0231。0232。210000850246。230。1200246。10247。=230。A246。=230。A1246。=231。2500247。247。231。231。247。3247。231。B1247。232。B248。232。248。231。0023247。2247。0058248。232。248。110分三、T設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3, 已知h1, h2, h3T是它的三個解向量. 且 h1=(2, 3, 4, 5), h2+h3=(1, 2, 3, 4),求該方程組的通解.（12分）解：由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4, 系數(shù)矩陣的秩為3, 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量,且由于h1, h2, h3均為方程組的解, 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2h1(h2+h3)=(h1h2)+(h1h3)=(3, 4, 5, 6)T為其基礎(chǔ)解系向量10分故此方程組的通解為：x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T,(k206。R).12分四、TT已知R的兩個基為TTTT3a1=(1, 1, 1), a2=(1, 0, 1), a3=(1, 0, 1)； b1=(1, 2, 1), b2=(2, 3, 4), b3=(3, 4, 3). 求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣P.（12分）解：設(shè)e1, e2, e3是三維單位坐標(biāo)向量組, 則1230。111246。230。111246。4分(a1, a2, a3)=(e1, e2, e3)231。100247。(e1, e2, e3)=(a1, a2, a3)231。100247。231。111247。231。111247。232。248。232。248。于是230。111246。230。123246。10分 230。123246。231。247。231。247。231。247。(b1, b2, b3)=(e1, e2, e3)234=(a1, a2, a3)231。100247。231。234247。231。143247。231。111247。231。143247。232。248。232。248。232。248。1由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣為P=231。100247。231。234247。=231。010247。231。111247。231。143247。231。101247。232。248。232。248。232。248。1五、設(shè) 236。239。lx1+x2+x3=1問l為何值時, 此方程組（1）有唯一解（2）無解（3）有無窮多解?（15分）237。x1+lx2+x3=l2239。238。x1+x2+lx3=l解.6分 230。l111246。11ll2r231。247。230。246。B=1l1l~ 0l11ll(1l)247。231。11ll2247。231。232。248。232。00(1l)(2+l)(1l)(l+1)2248。(1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當(dāng)l185。1且l185。(2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故(1l)(2+l)=0,(1l)(l+1)2185。0.因此l=2時, (3)要使方程組有有無窮多個解, 必須R(A)=R(B)3, 故(1l)(2+l)=0,(1l)(l+1)2=0.因此當(dāng)l=1時, 六、（1）判定向量組(1, 3, 1),(2, 1, 0),(1, 4, 1)是線性相關(guān)還是線性無關(guān)；（2）試用施密特法把向量組TTT230。111246。 正交化（16分）。231。247。(a1, a2, a3)=231。124247。231。139247。232。248。解：(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為230。121246。r230。121246。r230。121246。6分A=231。314247。~231。077247。~231。011247。231。101247。231。022247。231。000247。232。248。232。248。232。248。所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān)8分（2）根據(jù)施密特正交化方法,230。1246。1246。8分 1246。[b1,a3][b2,a3]1230。[b1,a2]230。b1=a1=231。1247。231。247。231。247。b=abb=2b2=a2b1=03312231。1247。231。247。[b,b][b,b]3231。1247。[b1,b1]1122232。248。232。1248。232。248。七、已知3階矩陣A的特征值為1,2,3, 求A35A2+7A.（10分）解令j(l)=l35l2+7l,2分 則j(1)=13, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值,6分 故 |A35A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=13180。2180。3=求一個正交變換將二次型解二次型的矩陣為f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+4x2x3化成標(biāo)準(zhǔn)形（15分）222由 230。200246。2分 A=231。032247。231。023247。232。248。 2l00AlE=03l2=(2l)(5l)(1l)023l得A的特征值為l1=2, l2=5, l3=15分當(dāng)l1=2時, 解方程(A2E)x=0, 由,230。000246。230。012246。A2E=231。012247。~231。001247。231。021247。231。000247。232。248。232。248。得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T7分當(dāng)l2=5時, 解方程(A5E)x=0, 由230。300246。230。100246。A5E=231。022247。~231。011247。231。022247。231。000247。232。248。232。248。得特征向量(0, 1, 1)T. 取,p2=(0, 1, 1)T9分22230。100246。230。100246。AE=231。022247。~231。011247。231。022247。231。000247。232。248。232。248。,當(dāng)l3=1時, 解方程(AE)x=0, 由得特征向量(0, 1, 1)T. 取11分 p3=(0, 1, 1)T22于是有正交矩陣T=(p1, p2, p3)和正交變換x=Ty, 使 f=2y12+5y22+y3215分