【正文】 字排列有A6，而0作為十萬(wàn)位的排列有A5，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有165(A6A5)=300(個(gè))． 2∴應(yīng)選B．說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解．(2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法．典型例題十四例14 用1,2,3,4,5，這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）． A．24個(gè)B．30個(gè)C．40個(gè)D．60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷．解法1：分類計(jì)算．將符合條件的偶數(shù)分為兩類．一類是2作個(gè)位數(shù)，共有A4個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有A4個(gè)．因此符合條件的偶數(shù)共有A4+A4=24個(gè)．解法2：分步計(jì)算．先排個(gè)位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有A4種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有A2A4=24個(gè)．解法3：按概率算．用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5=60個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的32222121222．因此三位偶數(shù)共有60180。=24個(gè)． 55解法4：利用選擇項(xiàng)判斷．/ 1 用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5=60個(gè)．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有A符合條件． ∴應(yīng)選A．3典型例題十五例15(1)計(jì)算A1+2A2+3A3+L+8A8．(2)求Sn=1!+2!+3!+L+n!(n179。10)的個(gè)位數(shù)字．分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮．在(1)中，項(xiàng)可抽象為nnnnn+1nnAn=(n+11)An=(n+1)AnnAn=An+1An1238，(2)中，項(xiàng)為n!=n(n1)(n2)L321，當(dāng)n179。5時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個(gè)位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮．解：(1)由nAn=(n+1)!n!∴原式=2!1!+3!2!+L+9!8!=9!1!=362879．(2)當(dāng)n179。5時(shí)，n!=n(n1)(n2)L321的個(gè)位數(shù)為0，∴Sn=1!+2!+3!+L+n!(n179。10)的個(gè)位數(shù)字與1!+2!+3!+4!的個(gè)位數(shù)字相同． 而1!+2!+3!+4!=33，∴Sn的個(gè)位數(shù)字為3．說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證： n123n1+++L+=1，我們首先可抓等式右邊的 2!3!4!(n+1)!(n+1)!nn+11n+1111===，(n+1)!(n+1)!(n+1)!(n+1)!n!(n+1)!∴左邊=1111111++L+=1=右邊． 2!2!3!n!(n+1)!(n+1)!典型例題十六例16 用0、組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)5共六個(gè)數(shù)字，無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？/ 1 分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字0，對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用0或者用一個(gè)自然數(shù)能被3整4進(jìn)行分類．除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類．解：(1)就個(gè)位用0還是用4中任取兩4分成兩類，個(gè)位用0，其它兩位從數(shù)排列，共有A4=12(個(gè))，個(gè)位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有22180。4180。4=32(個(gè))，所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12+32=44(個(gè))．(2)從0、5中取出和為3的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四組中有0，后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4180。2180。A2=16(個(gè))，如果用后四組，共有4180。A3=24(個(gè))，所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為16+24=40(個(gè))． 32典型例題十七例17 一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4人坐，要求3個(gè)空位中，有2個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與2個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對(duì)于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對(duì)待，設(shè)空座梯形依次編號(hào)為7．先選定兩個(gè)空位，可以在2號(hào)位，也可以在3號(hào)位?共有六種可能，再安排另一空位，此時(shí)需看到，如果空位在2號(hào)，則另一空位可以在7號(hào)位，有4種可能，相鄰空位在7號(hào)位，亦如此．如果相鄰空位在3號(hào)位，另一空位可以在7號(hào)位，只有3種可能，相鄰空位在4號(hào)，5號(hào)，6號(hào)亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類．本題的另一考慮是，對(duì)于兩相鄰空位可以用合并法看成一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的4個(gè)座位之間，用插空法處理它們的不相鄰．解答一：就兩相鄰空位的位置分類：若兩相鄰空位在2或7，共有2180。4180。A4=192(種)坐法．若兩相鄰空位在3，4，5或6，共有4180。3180。A4=288(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為192+288=480(種)．解答二：先排好4個(gè)人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的4人之間，共有4A4A52=480(種)不同坐法．44解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉3個(gè)空位全不相鄰或全部相/ 13鄰的情況，4個(gè)人任意坐到7個(gè)座位上，共有A7種坐法，三個(gè)空位全相鄰可以用合并法，直接將三個(gè)空位看成一個(gè)元素與其它座位一起排列，共有A5種不同方法．三個(gè)空位全不相鄰仍用插空法，但三個(gè)空位不須排列，直接插入4個(gè)人的5個(gè)間隔中，有A4180。10種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為A7A510A4=480(種)．454544 13 / 13