【導(dǎo)讀】博士和Kennedy博士提出，它源于對(duì)鳥群和魚群群體覓食運(yùn)動(dòng)行為的模擬。中追隨最優(yōu)的粒子進(jìn)行搜索。它的主要特點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單、參數(shù)少、收斂速度較快、易于實(shí)。目前，粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練、函數(shù)優(yōu)化、多目標(biāo)優(yōu)化等領(lǐng)域并取得。了較好的效果，有著廣闊的應(yīng)用前景。但就其本身而言，在理論和實(shí)踐方面還存在很多不足之處。粒子群優(yōu)化算法根據(jù)全體。法收斂精度不高，尤其是對(duì)于高維多極值的復(fù)雜優(yōu)化問題。對(duì)研究PSO算法相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行回顧，主要是優(yōu)化問題和群體智能。念的簡(jiǎn)化粒子群算法。粒子群收斂于局部極值的根本原因在于進(jìn)化后期沒有找到優(yōu)于全局。最優(yōu)的位置，對(duì)個(gè)體極值和全局極值進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，提出了帶極值擾動(dòng)的粒子群優(yōu)化算法。簡(jiǎn)要介紹了粒子群優(yōu)化算法在整定PID參數(shù)中的應(yīng)用。

　　

【正文】 移聚集到 39。*p ,經(jīng)歷新的搜索路徑和領(lǐng)域 ,因此發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解的概率較大。 通過調(diào)整參數(shù) ? ,1r ， 2r 和變量 idx 來優(yōu)化 bPSO 和 sPSO 后期收斂速度和精度的方法 ,屬于上述第 1 種情況 。文獻(xiàn) [18]的改進(jìn)方法屬于第 2 種情況 ,以適應(yīng)度方差作為觸發(fā)條件 ,并以很小概率 [,]改變 gp 。 本文采用進(jìn)化停滯步數(shù) t作為觸發(fā)條件 ,對(duì)個(gè)體極值 0p 和全局極值 gp 同時(shí)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng) .極值擾動(dòng)算子為 000 3 0 4。 ggtTtT ggp r p p r p????， 其中 : 0,gtt分別表示個(gè)體極值和全局極值進(jìn)化停滯步數(shù) 。 0, gTT表示個(gè)體極值和全局極值需要擾動(dòng)的停滯步數(shù)閾值 。 00 003001,( 0 ,1)tT tTr tTU? ??? ? ??和00 004001,( 0 ,1)tT tTr tTU? ??? ? ?? 表示帶條件的均勻隨機(jī)函數(shù)。 因此 ,對(duì) bPSO 方程式 ()添加極值擾動(dòng)算子后的形式為 0 0 0 0id 1 1 3 4( 1 ) ( ) t T t Tidx t x t c r r r? ??? ? ? id id 2 2 gd id（ p x ( t ) ） + c r（ p x ( t ) ） () 本文將式 ()對(duì)應(yīng)的算法稱為帶極值擾動(dòng)的粒子群優(yōu)化算法 ,簡(jiǎn)稱 tPSO。需要說明的是 , 0, gTT的取值大小決定了極值擾動(dòng)算子生效的延遲長(zhǎng)短 ,一般取值范圍為 3～ 0, gTT等于進(jìn)化世代數(shù)時(shí) ,式 ()退化為式 ()。因此， tPSO 是比 bPSO 的推廣， bPSO 是 tPSO的特例。 帶極值擾動(dòng)的簡(jiǎn)化粒子群優(yōu)化算法 sPSO 去掉了 PSO 進(jìn)化方程的粒子速度項(xiàng)而使原來的二階微分方程簡(jiǎn)化為一階微分方程，僅由粒子位置控制進(jìn)化過程，避免了由粒子速度項(xiàng)引起的粒子發(fā)散而導(dǎo)致后期收斂變慢和精度低問題。 tPSO 增加極值擾動(dòng)算 子可以加快粒子跳出局部極值點(diǎn)而繼續(xù)優(yōu)化。以上兩種策略結(jié)合，得到帶 極值擾動(dòng)的簡(jiǎn)化粒子群算法（ tsPSO）。 對(duì) sPSO 方程式 () 添加極值擾動(dòng)算子后的形式為 0 0 0 0id 1 1 3 4( 1 ) ( ) t T t Tidx t x t c r r r? ??? ? ? id id 2 2 gd id（ p x ( t ) ） + c r（ p x ( t ) ） （ ） 式 ()對(duì) 應(yīng)的算法即 為帶極值擾動(dòng)的簡(jiǎn)化粒子群優(yōu)化算法 ,. 0, gTT的取值大小決定了極值擾動(dòng)算子生效的延遲長(zhǎng)短 ,一般取值范圍為 3～ 0, gTT等于進(jìn)化世代數(shù)時(shí) ,式 ()退化為式 ()。因此 ,tsPSO 是 sPSO 的推廣 ， sPSO 是 tsPSO 的特例。 第 4 章 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析 標(biāo)準(zhǔn) 測(cè)試函數(shù) （ 1） Sphere 函數(shù) ： 211()niif x x??? 這是一個(gè)簡(jiǎn)單的 單峰函數(shù)，各類優(yōu)化函數(shù)都能較為容易地發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解，它的簡(jiǎn)單性有助于研究?jī)?yōu)化算法在問題維度上的效果。 搜索空間 100 100ix? ? ? 。 該函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)位于 {0, ,0}x? ??? ， 全局最 優(yōu)點(diǎn) 的函數(shù)值 1( ) 0fx? 。 函數(shù)的 3D 圖形如圖 所。 圖 Sphere 函數(shù)的 3D 圖形 （ 2） Rosenbrock 函數(shù) ： 2 2 2211( ) (1 0 0 ( ) ( 1 ) )ni i iif x x x x??? ? ? ?? 這是一個(gè)單峰函數(shù)，但并不易于求解。該函數(shù)在原理最優(yōu)點(diǎn)區(qū)域的適應(yīng)值地形很簡(jiǎn)單，但靠近最優(yōu)的區(qū)域?yàn)橄憬稜?。變量之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，且梯度信息經(jīng)常誤導(dǎo)算法的搜索方向。 搜索空間 100 100ix? ? ? 。 該函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn) {1, ,1}x? ??? ，具有最小函數(shù)值 2( ) 0fx? 。函數(shù)的 3D 圖形如圖 所示 。 圖 Rosenbrock 函數(shù)的 3D圖形 （ 3） Rastrigin 函數(shù) ： 231( ) ( 1 0 c o s ( 2 ) 1 0 )niiif x x x??? ? ?? 這是 Sphere 類函數(shù)的多峰版本，具有大量按正弦拐點(diǎn)排列的、很深的局部最優(yōu)點(diǎn)。 搜索空間 100 100ix? ? ? 。 全局最優(yōu)值 3( ) 0fx? ， 在點(diǎn) {0, ,0}x? ??? 處獲取。優(yōu)化算法很容易在通往全局 最優(yōu)點(diǎn)的路徑上陷入一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)。函數(shù)的 3D 圖形如圖 所示 圖 Rastrigin 函數(shù)的 3D圖形 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 為了測(cè)試 sPSO， tPSO 和 tsPSO 的性能，本文設(shè)計(jì)了 4 類測(cè)試實(shí)驗(yàn)：（ 1） bPSO 優(yōu)化實(shí)驗(yàn)（ 2） sPSO 優(yōu)化實(shí)驗(yàn)（ 3） tPSO 優(yōu)化實(shí)驗(yàn)（ 4） tsPSO 優(yōu)化實(shí)驗(yàn)。 實(shí)驗(yàn)選用 Sphere、 Rosenbrock、 Rastrigin 函數(shù) 三種基準(zhǔn)函數(shù)。 采用線性下降的慣性權(quán)重，它的變化范圍為 [， ]。 具體參數(shù)設(shè)置為： 種群規(guī)模設(shè)為 m=15，粒子的維數(shù)為Dim=30，最大迭代步數(shù)為 150； max 1v ? ； 122cc??； 0 3。 ?? 性能評(píng)估采用如下方法： （ 1） 固定進(jìn)化迭代次數(shù)，評(píng)估算法收斂速度和收斂精度； （ 2） 固定收斂精度目標(biāo)值，評(píng)估算法達(dá)到該精度目標(biāo)所需要的迭代次數(shù)。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及 分析 固定進(jìn)化迭代次數(shù)的收斂速度和精度 bPSO、 sPSO、 tPSO、 tsPSO 用三個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行 測(cè)試，固定進(jìn)化迭代次數(shù)為 150次，（ 1）（ 2）（ 3）分別選用 Sphere 函數(shù)、 Rosenbrock 函數(shù)、 Rastrigin 函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，（ a）（ b）（ c）（ d）分別為用各個(gè)測(cè)試函數(shù)的 bPSO 算法、 sPSO 算法 、 tPSO 算法、 tsPSO算法的適應(yīng)度的對(duì)數(shù)值進(jìn)化曲線（注：為了方便進(jìn)化曲線的顯示和觀察，對(duì)函數(shù)的適應(yīng)度以 10 為底的對(duì)數(shù)；同時(shí)，為了避免縱坐標(biāo)范圍貴大，對(duì)函數(shù)的適應(yīng)度均加上 610 作為截止值） 觀察改進(jìn)優(yōu)化粒子群優(yōu)化算法的效果。 （ 1） Sphere 函數(shù)為測(cè)試函數(shù) 0 50 100 150765432101最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 (a) bPSO 算法 （ b） sPSO 算法 20 40 60 80 100 120 140765432101最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 （ c） tPSO 算法 （ d） tsPSO 算法 （ 2） Rosenbrock 函數(shù)為測(cè)試函數(shù) 0 50 100 150 1 05051015202530最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 （ a） bPSO 算法 (b)sPSO 算法 0 20 40 60 80 100 120 1406543210最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度0 20 40 60 80 100 120 140654321最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度0 50 100 150 1 050510152025最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度0 50 100 150 1 05051015202530最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 （ c） tPSO 算法 （ d） tsPSO 算法 （ 3） Rastrigin 函數(shù)為測(cè)試函數(shù) 0 50 100 1506420246最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 （ a） bPSO 算法 （ b） sPSO 算法 0 50 100 1506420246最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度 （ b） tPSO 算法 （ d） tsPSO 算法 由（ 1）（ 2）（ 3）中的曲線（ a）和（ c）可以看出， sPSO 比 bPSO 在收斂精度上有了非常顯著的提高，說明了 sPSO 對(duì)應(yīng) 方程式（ ）的正確性和高效性；由曲線（ a）和曲線（ c）比較可以看出， tPSO 比 bPSO 在擺脫局部極值能力 、進(jìn)化后期收斂速度和收斂精度等方面具有顯著提高，說明了極值擾動(dòng)算子具有很好的優(yōu)化性能；曲線（ d）具有最高的0 20 40 60 80 100 120 140642024最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度0 20 40 60 80 100 120 140642024最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度0 20 40 60 80 100 120 14064202468最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度進(jìn)化代數(shù)適應(yīng)度收斂精度和最快的收斂速度，在經(jīng)過 15~60 次進(jìn)化迭代后基本上達(dá)到了目標(biāo)精度，說明了tsPSO 算法的實(shí)用性能。 固定收斂精度下的迭代次數(shù) 4 個(gè)實(shí)驗(yàn)在適應(yīng)度值為 610 的 收斂精度下經(jīng)過 20 次獨(dú)立運(yùn)行后的最大迭代次數(shù)、最小迭代次數(shù)、平均迭代次數(shù)見表 1。 表 1 在目標(biāo)精度下 20 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的進(jìn)化代數(shù)比較 bPSO 和 sPSO 實(shí)驗(yàn)可以看出： bPSO 達(dá)到目標(biāo)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)比 sPSO 所用的迭代次數(shù)大。 同樣比較 bPSO 和 tPSO 實(shí)驗(yàn)可以看出： tPSO 總體上比 bPSO 的優(yōu)化效果好一些。 tsPSO 達(dá)到收斂目標(biāo)平均迭代次數(shù)均小于 50 次。這表明，帶極值擾動(dòng)的 sPSO 算法 具有非常高的優(yōu)化性能和實(shí)用性。 部分程序源代碼 主函數(shù)源程序（ ） %初始格式化 clear all。 實(shí)驗(yàn)名稱 迭代次數(shù) 平均值 最小值 最大值 Sphere 函數(shù) bPSO 95 45 180 sPSO 15 10 30 tPSO 75 40 140 tsPSO 14 10 16 Rosenbrock 函數(shù) bPSO 350 250 600 sPSO 17 7 30 tPSO 240 100 400 tsPSO 15 7 30 Rastrigin 函數(shù) bPSO 410 100 700 sPSO 22 12 40 tPSO 220 400 140 tsPSO 18 9 40 clc。 format long。 %給定初始化條件 c1=2。 %學(xué)習(xí)因子 1 c2=2。 %學(xué)習(xí)因子 2 wini=。 %慣性權(quán)重起始值 wend=。 MaxDT=1000。 %最大迭代次數(shù) D=30。 %搜索空間維數(shù)（未知數(shù)個(gè)數(shù)） N=15。 %初始化群體個(gè)體數(shù)目 eps=10^(6)。 %設(shè)置精度 (在已知最小值時(shí)候用 ) T0=3。 %個(gè)體極值需要擾動(dòng)的停止步數(shù)闕值 Tg=5。 %全體極值需要擾動(dòng)的停止步數(shù) 闕值 t0=0。 %賦初始值 tg=0。 %賦初始值 %初始化種群的個(gè)體 (可以在這里限定位置和速度的范圍 ) for i=1:N for j=1:D x(i,j)=100*randn。 %隨機(jī)初始化位置 end end %先計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度，并初始化 Pi 和 Pg for i=1:N p(i)=fitness(x(i,:),D)。 y(i,:)=x(i,:)。 end pg=x(1,:)。 %Pg 為全局最優(yōu) for i=2:N if fitness(x(i,:),D)fitness(pg,D) pg=x(i,:)。 end end %進(jìn)入主要循環(huán)，按