【正文】 年份（x）1930 1960 1974 1987 1999 人數(shù)（y億）30 4060（1）利用圖形計(jì)算器建立人口與時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系．（2）分析“人口與時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式”的特點(diǎn)，想想應(yīng)如何對(duì)指數(shù)函數(shù)下定義？對(duì)于以上問(wèn)題學(xué)生馬上能利用圖形計(jì)算器的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的功能通過(guò)描點(diǎn)觀察→選擇函數(shù)→計(jì)算出函數(shù)解析式→驗(yàn)證合理性的過(guò)程來(lái)感悟指數(shù)函數(shù)的定義，使其在實(shí)際問(wèn)題的背景下有了更為深刻的認(rèn)識(shí)．此時(shí)教師再問(wèn)：指數(shù)函數(shù)定義中為什么對(duì)參數(shù)a（a0且a≠1）要作如此的規(guī)定．傳統(tǒng)的教學(xué)方式教師只能對(duì)a取負(fù)值時(shí)的情況舉反例說(shuō)明．而在運(yùn)用信息技術(shù)的背景下，教師只要讓學(xué)生對(duì)函數(shù)列出其函數(shù)對(duì)應(yīng)值表（如圖2），學(xué)生就首先感悟到a取負(fù)值時(shí)的“惡果”，此時(shí)學(xué)生就可以自己用反例來(lái)教育自己．而通過(guò)對(duì)函數(shù)的自動(dòng)作圖，學(xué)生又自然發(fā)現(xiàn)在a取負(fù)值時(shí)，函數(shù)的圖象沒(méi)有規(guī)律，這又為學(xué)生學(xué)習(xí)等比數(shù)列q 0時(shí)的性質(zhì)埋下伏筆．在信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)通過(guò)學(xué)生自己“觀察”“思考”“探究”“歸納”等欄目，教師則提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．（二）在信息技術(shù)的支持下的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式發(fā)生深刻的變化1．信息技術(shù)使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)保持高認(rèn)知水平在信息技術(shù)支持下的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究和猜想可以成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，學(xué)生可以驗(yàn)證自己的猜想，自己發(fā)現(xiàn)新命題，并在這個(gè)過(guò)程中獲得邏輯證明的思路，從而豐富自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提高直覺(jué)能力和想象力，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)保持高認(rèn)知水平．案例三 逆映射概念的建立在反函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，信息技術(shù)的整合使學(xué)生通過(guò)從“特殊現(xiàn)象→歸納整理→理性分析→結(jié)論得出”這一知識(shí)形成過(guò)程變得自然、流暢、深刻．下面是案例的一個(gè)片斷．師：同學(xué)們想一想：如果f：A→B是集合A到B上的映射，那么集合B→A的映射一定存在嗎？請(qǐng)同學(xué)們思考一下解決這個(gè)問(wèn)題的方法．學(xué)生：有的學(xué)生在若有所思，而有三分之一的學(xué)生在用計(jì)算器操作．師：（五分鐘后）同學(xué)們請(qǐng)發(fā)表意見(jiàn)．學(xué)生甲：我們想利用一些具體函數(shù)作為背景來(lái)研究，具體方案是取一些特殊函數(shù)，利用圖形計(jì)算器的“blddata”功能得出它們的對(duì)應(yīng)值表得到后，把函數(shù)值y的取值轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞縳的值，同時(shí)把自變量x的值作為函數(shù)值y的值進(jìn)行描點(diǎn)觀察．（如圖4－9）師：通過(guò)這些得出的圖象的觀察，能得出什么結(jié)論？生：發(fā)現(xiàn)有的映射存在逆映射，如圖7．有的則不存在，如圖9．原因正在思考．師：同學(xué)們分析得很好．從圖4的函數(shù)本質(zhì)分析，存在逆映射的真正原因是什么？生：（通過(guò)同學(xué)們的分組討論、發(fā)表不同意見(jiàn)，分歧漸漸變小，結(jié)論慢慢清晰）“一一映射一定存在逆映射”，“單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)”．曾經(jīng)在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)信息技術(shù)的幫助，使得知識(shí)的形成過(guò)程實(shí)現(xiàn)了真正是以學(xué)生為主體、通過(guò)自己的探索、發(fā)現(xiàn)、歸納而得出結(jié)論來(lái)實(shí)現(xiàn)的．這樣的過(guò)程理解深刻，記憶牢固，體現(xiàn)了知識(shí)的形成過(guò)程，收到良好的成效．2．信息技術(shù)使理性思維更好的貫穿到學(xué)習(xí)活動(dòng)中案例四 在進(jìn)行函數(shù)的應(yīng)用舉例的教學(xué)中，對(duì)于“身高與體重的關(guān)系”的例題在人教社“信息技術(shù)整合本”及“現(xiàn)行本”教材中都有，而傳統(tǒng)的教學(xué)由于手段的制約只能用待定系數(shù)法取題中所給的12組數(shù)據(jù)中的第二組和倒數(shù)第二組數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算身高與體重的函數(shù)解析式，對(duì)于如果用其它的兩組數(shù)據(jù)會(huì)發(fā)生什么情況，是否可以用全部或多組數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，是不能給學(xué)生講清楚的．而在信息技術(shù)的支持下，解決這一例題的過(guò)程完全由學(xué)生通過(guò)自己的探究就可以圓滿完成．但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于身高與體重的函數(shù)解析式的合理性驗(yàn)證往往停留在一種很粗糙的狀態(tài)中（如圖10），這就是用眼睛觀察身高與體重的對(duì)應(yīng)值點(diǎn)與所求函數(shù)解析式圖象的靠近程度，而教師在這種情況下所應(yīng)該做的就是及時(shí)向?qū)W生提出：“函數(shù)解析式的合理性是否可以通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明？”這時(shí)的教學(xué)活動(dòng)片斷如下：學(xué)生活動(dòng)：用身高與體重函數(shù)解析式通過(guò)計(jì)算器計(jì)算身高的函數(shù)值，據(jù)此發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)與計(jì)算數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差．（如圖11）教師活動(dòng)：積極肯定學(xué)生對(duì)這一數(shù)學(xué)模型的評(píng)價(jià)理念的轉(zhuǎn)變．又適時(shí)向?qū)W生提出：“現(xiàn)在誤差值有了，如何說(shuō)明現(xiàn)在用全部數(shù)據(jù)得到的函數(shù)模型與選取兩組、三組、等等數(shù)據(jù)值得到的函數(shù)解析式相比較下的優(yōu)劣呢？學(xué)生活動(dòng)：用計(jì)算器分別選取各自認(rèn)為的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算、然后進(jìn)行誤差分析、通過(guò)數(shù)據(jù)的比較來(lái)說(shuō)明問(wèn)題．如圖12－13是分別選取兩組、五組數(shù)據(jù)時(shí)的誤差分析情況．在上述的教學(xué)片斷中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)信息技術(shù)的運(yùn)用，很好的解決了用數(shù)學(xué)模型的解還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解的過(guò)程，以及用數(shù)字理性的解決數(shù)學(xué)模型的合理性驗(yàn)證問(wèn)題，充分體現(xiàn)信息技術(shù)支持下的高水平學(xué)習(xí)過(guò)程．3．信息技術(shù)把接受式學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，形成互補(bǔ)，從而改變學(xué)生被動(dòng)接受的局面案例五 函數(shù)圖象的變換過(guò)程一定要落實(shí)到函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)變化上提出問(wèn)題： 你能解決函數(shù)與的圖象關(guān)系嗎？（信息技術(shù)整合本高一（上））在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生的探究活動(dòng)分為三個(gè)層次，體現(xiàn)出不同的思維層次與認(rèn)知水平．學(xué)生活動(dòng)一：分別畫出函數(shù)與的圖象進(jìn)行觀察，而效果卻是采用這種方法去探究的大部分學(xué)生看著得到的圖象覺(jué)得很茫然，不明所以．（如圖14）主要原因是在圖象靠近漸近線的部分學(xué)生看不到有平移的現(xiàn)象．學(xué)生活動(dòng)二：運(yùn)用圖形計(jì)算器的“blddata”功能收集函數(shù)的x與y的值，這時(shí)在數(shù)據(jù)表格中有的學(xué)生將x的所有值都加上2，也有的學(xué)生減去2（如圖15），然后用“x+2”或“x－2”的值與y的值分別得到其散點(diǎn)圖，這時(shí)經(jīng)過(guò)與函數(shù)的實(shí)際圖象（如圖16）進(jìn)行對(duì)比后學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律．這時(shí)教師又提出問(wèn)題：為什么將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都減去2，而縱坐標(biāo)不變得到的圖象會(huì)是的圖象呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)集體討論后，圖象平移的本質(zhì)漸漸清晰起來(lái)，從而完成了對(duì)知識(shí)的構(gòu)建．學(xué)生活動(dòng)三：利用幾何畫板對(duì)上述過(guò)程所形成的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，如圖17．（三）信息技術(shù)為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)插上“翅膀”在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，盡管數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)早已有人提出，過(guò)去，基于技術(shù)條件和課堂條件難于實(shí)現(xiàn)，傳統(tǒng)的黑板粉筆教學(xué)方式，直到現(xiàn)在仍然占領(lǐng)著主流地位．現(xiàn)在，信息技術(shù)的迅猛發(fā)展為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的開(kāi)展創(chuàng)造了最為有利的基礎(chǔ)．在課題實(shí)驗(yàn)中，我們對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這個(gè)全新的欄目積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嘗試，并在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程、操作和效果上進(jìn)行探索、總結(jié)．得出的初步結(jié)論如下：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程一般地可分為六個(gè)階段：1．課前預(yù)習(xí)：實(shí)驗(yàn)前派發(fā)實(shí)驗(yàn)報(bào)告表，要求學(xué)生事前了解實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮皖A(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)所需的必備知識(shí)．2．實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：學(xué)生針對(duì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)并實(shí)施一定的實(shí)驗(yàn)步驟，清晰地表達(dá)問(wèn)題、體驗(yàn)問(wèn)題和理解問(wèn)題．3．觀察、分析與思考：學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)過(guò)程、分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果和思考問(wèn)題的結(jié)果．4．發(fā)現(xiàn)或猜想：抽象、概括形成概念或提出假設(shè)、猜想．5．適當(dāng)性檢驗(yàn)：在新的情境中檢驗(yàn)所形成的觀念或猜想的適當(dāng)性和普遍性．6．完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告表 ．案例六 怎樣燒開(kāi)水最快最省煤氣1．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模航⒚簹饬髁亢蜔_(kāi)一壺水所需的時(shí)間及用氣量之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而解決怎樣燒開(kāi)水最快最省煤氣的問(wèn)題．2．實(shí)驗(yàn)過(guò)程：（1）在家庭使用的電子打火煤氣灶，發(fā)現(xiàn)當(dāng)關(guān)著煤氣的時(shí)候，煤氣旋鈕（以下簡(jiǎn)稱旋鈕）的位置為豎置方向，我們把這個(gè)位置定為0176。，煤氣開(kāi)到最大時(shí)，位置為90176。（以0176。位置作起始邊，旋鈕和起始邊的夾角）．我們?cè)?90176。中間平均分成五等份，代表不同的煤氣流量，它們分別是18176。，36176。，54176。，72176。，90176。，如圖18．（2）記錄數(shù)據(jù)：在這5個(gè)位置上，分別以燒開(kāi)一壺水為標(biāo)準(zhǔn)，記錄所需的時(shí)間和所用的煤氣量．（表1）（3）處理數(shù)據(jù)：根據(jù)旋鈕位置，以及煤開(kāi)一壺水所需時(shí)間（用S表示）、所用煤氣量（用V表示），我們可以算出不同旋鈕位置所代表的煤氣流量（用L表示）．結(jié)果如下：L=V/S．（表2）將表2的數(shù)據(jù)輸入圖形計(jì)算器，應(yīng)用圖形計(jì)算器的數(shù)據(jù)擬合功能可以得到時(shí)間及用氣量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后應(yīng)用圖形計(jì)算器的求函數(shù)最值的功能可以得到結(jié)果．四、需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題（一）信息技術(shù)在課堂上的使用無(wú)疑可以大大提高學(xué)生的探究和發(fā)現(xiàn)的能力．但當(dāng)前的考試仍然以筆試為主，信息技術(shù)在考試中的應(yīng)用也沒(méi)有得到應(yīng)有的體現(xiàn)，．這就需要我們研究如何改革考試制度和考試方法，研究考試如何考察學(xué)生的探究和發(fā)現(xiàn)能力，或者可以讓圖形計(jì)算器進(jìn)考場(chǎng)，發(fā)揮它的考試功能，這一問(wèn)題還有待于進(jìn)一步解決．（二）如何在基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能切實(shí)理解、熟練掌握與充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的威力之間，找到一個(gè)最佳的結(jié)合點(diǎn)，控制最適當(dāng)?shù)钠胶舛龋覀冊(cè)跀?shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)是它嚴(yán)格的推量和證明．而信息技術(shù)所能解決的實(shí)驗(yàn)和測(cè)量總存在誤差，因而實(shí)驗(yàn)決不能代替邏輯證明，但是邏輯證明的方法可以由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)只能提出一些猜想或假設(shè)，演設(shè)能力的訓(xùn)練、邏輯推理能力的訓(xùn)練以及邏輯證明程序和方法的學(xué)習(xí)，還需通過(guò)實(shí)驗(yàn)以外的課堂教學(xué)進(jìn)行．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)只是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方式，決不要以實(shí)驗(yàn)教學(xué)代替演譯、推理、證明和練習(xí)的教學(xué)．（三）信息技術(shù)為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)插上“翅膀”，信息技術(shù)整合本教材中提供的諸多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中具體與抽象的辨證關(guān)系，與其它學(xué)科如物理、化學(xué)、生物的實(shí)驗(yàn)一樣，學(xué)生實(shí)驗(yàn)前需要預(yù)習(xí)，實(shí)驗(yàn)后要完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告．教材中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊褚矊ｉT提供給學(xué)生一本數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)，為使學(xué)生完整的經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程創(chuàng)造更為有利的條件．對(duì)于若干典型課例，我們?cè)谏险n前把實(shí)驗(yàn)報(bào)告單發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生以報(bào)告單上的問(wèn)題為線索，自主地進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)，并與同學(xué)交流，最后教師再進(jìn)行歸納和總結(jié)，收到了較好的效果．