【導(dǎo)讀】由于聯(lián)系到許多其他知識(shí)點(diǎn)，向量掌握的好與壞，直接影響學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。近幾年的高考趨勢(shì)表明，向量在高中扮演的角色越來(lái)越重要。、利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問(wèn)題························································6

　　

【正文】 、 點(diǎn)到平面距離 例 ， 長(zhǎng)方 體 ABCD－ A1B1C1D1 中 ,AB = 4，AD=6， AA1=4， M 是 A1C1 的中點(diǎn)， P 在線(xiàn)段 BC 上，且 CP=2，求： M 到平面 AB1P 的距離 . 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 B－ xyz，則 A（ 4,0,0）， M（ 2， 3， 4） ， P（ 0， 4， 0）， B1（ 0， 0， 4） ，設(shè) ),( zyxn? 是平面 AB1P 的某一法 向量 .則 n ⊥ 1AB ，n ⊥ AP . 1AB ＝（－ 4 ,0 ,4）， AP ＝（－ 4， 4， 0） ，??? ??? ??? 044 044 zx yx， 因此可取 n =（ 1， 1， 1） ， 由于 MA ＝（ 2，－ 3， － 4）， 那么點(diǎn) M 到平面 AB1P 的距離為 ： d=nnMA? =31)4(1)3(12 ???????＝ 335 ， 故 M 到平面 AB1P 的距離為 335 . 分析：欲求點(diǎn)到平面的距離，可先求得平面的法向量 n ，再在平面外取點(diǎn) A，平面內(nèi)任取一點(diǎn) B，則 A 到平面的距離 d=nnAB? 。 、 異面直線(xiàn)距離 例 在 △ ABC 中 ， ∠ B=90176。， D， E 分別在 AB， AC 上，使2?? ECAEDBAD ， AB=6， BC=，現(xiàn)將 △ ABC 沿 DE 折成直二面角，求異面直線(xiàn) AD 和 BE 的距離 . 解：如圖 1，由于 2?? ECAEDBAD ，故 DE//BC，32?? BCDEABAD ，所以 DE=3， AD=4， DB= ∠ B=90176。，故 AD⊥ DE， DB⊥ DE 折疊后如圖 2， DA， DE， DB 兩兩垂直，故可以 D 為原點(diǎn)，以 DB 方向?yàn)?x 軸， DE 方向?yàn)?y 軸， DA 方向?yàn)?z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz， A(0， 0， 4)， B（ 2， 0， 0）， E（ 0， 3， 0）， DA =（ 0， 0， 4）， BE =（ 2， 3，A D C B P 1A 1D 1C 1B x y z M A D E B C 圖 1 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 0），設(shè) AD 與 BE 的公垂線(xiàn)方向向量為 n =（ x， y， z），則?????????00BEnDAn ，得??? ??? ? 032 04 yxz，令 x=1，得 n =（ 1，32， 0） ，故 d=nnDB? =13136 . 分析：要求兩異面直線(xiàn) a， b 的距離，先求得 a ， b 為兩直線(xiàn)的方向向量， n 為公垂 線(xiàn)的方向向量，聯(lián)例?????????00bnan 即可得n ，再在直線(xiàn) a， b 上各取一點(diǎn) A、 B， 那么 a， b 的距離就可通過(guò) d=nnAB? 求得 。 代數(shù) 向量和代數(shù)是 2 個(gè)看似不相干，卻有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系的朋友， 向量問(wèn)題 代數(shù) 化， 代數(shù)問(wèn)題向量化 ，是高中架起代數(shù)與向量的橋梁，而最通常的手段則是以下 2 個(gè)向量三角不等式。 （ 1） . qpqp ??? （當(dāng) p ， q 平行時(shí)取等號(hào)） （ 2） . qpqpqp ????? （若中間式子為 qp? ，則 p ， q 同向時(shí)，右邊不等式取等號(hào)， p ， q 反向時(shí)，左邊不等式取等號(hào)；若中間式子為 qp? ，則 p ， q 同向時(shí)，左邊不等式取等號(hào)， p ， q 反向時(shí)，右邊不等式取等號(hào)） 、 不等式問(wèn)題 證明不等式往往是個(gè) 比較 復(fù)雜的問(wèn)題，而且有些難題的關(guān)鍵點(diǎn) 是 一般學(xué)生 所想不到的 。如果 某些 式子 中 具有向量代數(shù)某些特征 時(shí)，例如乘方之和或根號(hào)下平方和，這時(shí)候 采用構(gòu)造向量去解往往能化難為易， 讓人眼前一亮。 例 17. 已知 a、 b、 c∈ R，且 632 ??? cba ，求證 632 222 ??? cba ． 證 ： 構(gòu)造向量 m = )3,2,( cba ， n = )3,2,1( ，有 nmnm ??? ，得32132326 222 ???????? cbacba ，所以 632 222 ??? cb ，所以632 222 ??? cba ． z A C D B E x y 圖 2 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 16 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 例 ： baba ????? 22 11 . 證明：設(shè) p =（ 1， a）， q =（ 1， b），則 qp? =（ 0， ab）， qp ? = ba? ， 21 ap ?? ，21 bq ?? ，由 qpqpqp ????? 得證 . 分析：例 17 例 18 分別用了上述的向量 三角 不等式，通 過(guò)構(gòu)造向量，用向量 三角 不等式解決不等式問(wèn)題。 例 19. 2222222 )()()( czbyaxcbazyx ???????? ，其中 0?abc ，求證 czbyax ?? . 證 ： 設(shè) p = （ x ， y ， z ）， q = （ a ， b ， c ）， 設(shè) 他 們 的 夾 角 為 ? ，?cos =qpqp?? =222222 cbazyxczbyax ????? ?? ，由已知條件得， ?2cos =1， ? =0 或 ? ，則 p //q ，故 czbyax ?? . 分析：由 x2+y2+z2 和 a2+b2+c2 可以聯(lián)想到向量的模，由 ax+by+cz 可以聯(lián)想到向量的數(shù)量積，故可構(gòu)造向量求解。 、 求最值問(wèn)題 由于最值也涉及到不等號(hào)，所以最值問(wèn)題往往與不等式問(wèn)題有異曲同工之處，其關(guān)鍵也在于構(gòu)建向量。 例 20. 求函數(shù) 9)3(4 22 ????? xxy 的最 小值． 解： 構(gòu)造向量 m =(x,2)， n =（ 3x， 3），則 y= nm? nm?? = 22 53 ? = 34 ． 所以當(dāng) 323 ??xx ，即 x=56 時(shí) ， 34min ?y ． 例 21. 已知實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足方程 x2+y2=6x4y9，求 2x3y 的最大值和最小值 的和 . 解： x2+y2=6x4y9 可化簡(jiǎn)得到（ x3） 2+（ y2） 2=4，設(shè) p =（ x3， y+2）， q =（ 2， 3），由 qpqp ??? 得 94)2()3()2(3)3(2 22 ????????? yxyx ，則1321232 ??? yx ， 132123213212 ????? yx，故當(dāng) p //q 時(shí)等號(hào)成立，（ 2x3y）max+（ 2x3y） min=122 13 +12+2 13 =24. 、 三角函數(shù)中的應(yīng)用 三角函數(shù)問(wèn)題 同樣可以通過(guò)構(gòu)造向量來(lái)解決 ，利用 qpqp ??? 可簡(jiǎn)化三角函數(shù)問(wèn)題，解法簡(jiǎn)潔流暢，體現(xiàn)于“向量問(wèn)題函數(shù)化，函數(shù)問(wèn)題向量化”的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 。 例 22. 求函數(shù) xxxxy 22 c o s3c o ss in2s in ??? 的最值 . 解：原式可化為 xxy 2c os2s i n2 ??? ， 令 z= xx 2cos2sin ? , 構(gòu)造向量a = )2cos2(sin xx， ， b =(1， 1) ， 則 z=│ xx 2cos2sin ? │=│a b │≤│a ││b │=2 ，杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 17 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 所以 2222 m inm a x ???? yy ， . 結(jié) 論 新課標(biāo)改革后 ，向量被引入 高中數(shù)學(xué) ， 這 極大的豐富和發(fā)展了 高中 數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，也極大的拓展了 高中學(xué)生 的思維空間 ，尤其 是 將 向量 法 作為工具對(duì)于解決幾何問(wèn)題有其獨(dú)到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性 推理 與 代數(shù)運(yùn)算的定量分析 作轉(zhuǎn)換 ，避免了傳統(tǒng)幾何方法中 復(fù)雜的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中 數(shù)形結(jié)合思想 、 形象思維與抽象思維的轉(zhuǎn)化 。 當(dāng)然在代數(shù)中，向量也有其不可小覷的魅力，將許多讓人無(wú)從下手的代數(shù)問(wèn)題通過(guò)向量重新轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，讓人有一種柳暗花明又一村的感覺(jué)。 當(dāng)然向量法不是萬(wàn)能的 。雖然說(shuō)許多題目通過(guò)向量思維轉(zhuǎn)換，可以化難為易，但是向量法本身存在的難點(diǎn)也是不容忽視的。首先，如何構(gòu)建向量就是一個(gè)技巧，如果找不到合適的向量構(gòu)建，一味的選擇向量法，只會(huì)浪費(fèi)時(shí)間；其次向量的運(yùn)算也不是一個(gè)輕松的活，容易出錯(cuò)。所以我們 不能僅 看見(jiàn)向量?jī)?yōu)勢(shì)的一面，還要對(duì)向量有一種深層次的反思，不能對(duì)向量的認(rèn)識(shí)僅僅停留在數(shù)學(xué)解題上，應(yīng)該從更大的范圍和角度認(rèn)識(shí)向量，要全面的把握好向量與其他數(shù)學(xué)工具的關(guān)系。 通過(guò)積極的探索，合理的構(gòu)造，當(dāng)擁有豐富的經(jīng)驗(yàn)后，自然就能對(duì)向量法運(yùn)用自如。 沒(méi)有向量法是萬(wàn)萬(wàn)不能的。當(dāng)其他考生在考場(chǎng)死算算的頭破血流時(shí)，你卻早已通過(guò)向量法將一切都看破，將一顆牛肉粒放入嘴中，深藏功與名。何等的俯視群雄的姿態(tài)，可謂得向量者得天下 。 杭州師范大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文 第 18 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 參考文獻(xiàn) [1]呂林根 ， 許子道 ． 解析幾何 [M]． 第四版 ． 北京 ： 高等教育出 版社 ， 20xx： 12 [2]教育部 ． 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) [M]． 北京 ： 人民教育出版社 ， 20xx： 108109 [3]王 曉穎 ． 向量在解題中的應(yīng)用 [J]． 考試周刊 ， 20xx， (20)： 7980 [4]王俊平 ． 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 [J]． 高中數(shù)學(xué)教與學(xué) ， 20xx， (8)： 1920 [5]樊文聯(lián) ． 例說(shuō)向量的廣泛應(yīng)用 [J]． 高中數(shù)學(xué)教育學(xué)， 20xx， (6)： 2425 [6]宋波，趙辛慶 ． 向量射影在幾何解題中的應(yīng)用 [J]． 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 ， 20xx， (1)： 3436 [7]俞漢林 ． 向量 求空間距離 的有力工具 [J]． 高中數(shù)學(xué)教與學(xué) ， 20xx， (6)： 1516 [8]. 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