【導(dǎo)讀】2．已知復(fù)數(shù)z滿足i?5．袋中有2個黃球3個白球，甲乙兩人分別從中任取一球，取得黃球得1分，9．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a2與a7的等比中項，S5=50，12．已知f是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'，若2f﹣f'13．在平面內(nèi)，，動點P，M滿足，，15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，設(shè)點P是橢圓的左準線與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓C相交于M，求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；2n+a，求實數(shù)a的取值范圍；將數(shù)列{an}，{bn}的項按照“當n為奇數(shù)時，an放在前面；當n為偶數(shù)時，bn放在前面”的要求進行排列，得到一個新的數(shù)列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…求曲線y=f與直線2x+y=0垂直的切線方程；求f的單調(diào)遞減區(qū)間；若存在x0∈[e，+∞），使函數(shù)g=aelnx+?21．如圖，A，B，E是⊙O上的點，過E點的⊙O的切線與直線AB交于點P，寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

　　

【正文】 選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A． [選修 41：幾何證明選講 ]（本小題滿分 0 分） 21．如圖， A， B， E 是 ⊙ O 上的點，過 E 點的 ⊙ O 的切線與直線 AB 交于點 P，∠ APE 的平分線和 AE， BE 分別交于點 C， D．求證： （ 1） DE=CE； （ 2） ． 【考點】 NC：與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】 （ 1）證明 ∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPC=∠ CPA，可得 ∠ ECD=∠ EDC，即可證明結(jié)論； （ 2）證明 △ EPB∽△ APE，得 = ， PC 是 ∠ APE 的平分線，得 = ，即可證明結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1） ∵ PE 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ PEB=∠ PAC， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線， ∴∠ EPC=∠ CPA， ∴∠ PEB+∠ EPC=∠ PAC+∠ CPA， ∴∠ ECD=∠ EDC， ∴ DE=CE； （ 2） ∵∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPB=∠ APE， ∴△ EPB∽△ APE， ∴ = ， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線， ∴ = ， ∴ ． B． [選修 42：矩陣與變換 ]（本小題滿分 0 分） 22．已知二階矩陣 M 有特征值 λ=8及對應(yīng)的一個特征向量 = ，并且矩陣 M將點（﹣ 1， 3）變換為（ 4， 16），求矩陣 M． 【考點】 OV：特征值與特征向量的計算． 【分析】 設(shè)出矩陣，利用特征向量 的定義，即二階變換矩陣的概念，建立方程組，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：設(shè) ， ∵ 特征值 λ=8及對應(yīng)的一個特征向量 = ，矩陣 M 將點（﹣ 1， 3）變換為（ 4，16）， ∴ ，解得 ， ∴ M= … C． [選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ]（本小題滿分 0 分） 23．以直角坐標系的原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)），曲線 C 的極坐標方程是 ρcos2θ=4sinθ． （ 1）寫出直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程； （ 2）設(shè)直線 l 與曲線 C 相交于 A， B 兩點， 點 M 為 AB 的中點，點 P 的極坐標為 ，求 |PM|的值． 【考點】 Q4：簡單曲線的極坐標方程． 【分析】 （ 1）消去參數(shù) t 得直線 l 的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化方法求曲線 C 的直角坐標方程； （ 2）求出 M， P 的直角坐標，即可求 |PM|的值． 【解答】 解：（ 1）已知直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)），普通方程為 y= +3， 曲線 C 的極坐標方程是 ρcos2θ=4sinθ，化為 ρ2cos2θ=4ρsinθ， ∴ x2=4y． … （ 2）由直線與拋物線方程，消去 y 得 x2﹣ 4 x﹣ 12=0… 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 AB 的中點 M（ 2 ， 9） … 又點 P 的直角坐標為（ 2 ， 6）， … 所以 |PM|=3… D． [選修 45：不等式選講 ]（本小題滿分 0 分） 24．若實數(shù) x， y， z 滿足 4x+3y+12z=1，求 x2+y2+z2的最小值． 【考點】 RA：二維形式的柯西不等式． 【分析】 利用條件 x+2y+3z=1，構(gòu)造柯西不等式（ 4x+3y+12z） 2≤ （ x2+y2+z2）（ 42+32+122），變形即可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，實數(shù) x， y， z 滿足 4x+3y+12z=1， 則有（ 4x+3y+12z） 2≤ （ x2+y2+z2）（ 42+32+122）， 即 1≤ 169（ x2+y2+z2）， 即有 x2+y2+z2≥ ； 即 x2+y2+z2的最小值為 ； 故答案為： ． [必做題 ]第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 25．底面是正方形的四棱錐中 P﹣ ABCD 中，側(cè)面 PAD⊥ 底面 ABCD，且 △ PAD是等腰直角三角形，其中 PA=PD， E， F 分別為線段 PC， DB 的中點，問在線段AB 上是否存在點 G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，若存在，請求出點 G 的位置；若 不存在，請說明理由． 【考點】 MT：二面角的平面角及求法． 【分析】 取 AD 中點 O，連結(jié) PO，以 O 為原點， OA 為 x 軸，在平面 ABCD 中過 O 作 AD 的垂線為 y 軸，以 OP 為 z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出在線段 AB 上存在點 G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，且 AG= ． 【解答】 解：假設(shè)在線段 AB 上存在點 G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ． 取 AD 中點 O，連結(jié) PO， ∵ 底面是正方形的四棱錐中 P﹣ ABCD 中，側(cè)面 PAD⊥ 底面 ABCD，且 △ PAD是等腰直角三角形，其中 PA=PD， ∴ PO⊥ 平面 ABCD， 以 O 為原點， OA 為 x 軸，在平面 ABCD 中過 O 作 AD 的垂線為 y 軸，以 OP為 z 軸， 建立空間直角坐標系，設(shè) PA=PD= ， 則 G（ 1， t， 0）（ 0≤ t≤ 2）， C（﹣ 1， 2， 0）， P（ 0， 0， ）， D（﹣ 1， 0， 0）， =（﹣ 1， 0，﹣ ）， =（﹣ 1， 2，﹣ ）， =（ 1， t，﹣ ）， 設(shè)平面 PCD 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x= ，得 =（ ， 0，﹣ 1）， 設(shè)平面 PDG 的法向量 =（ a， b， c）， 則 ，取 a= ，得 =（ ，﹣ ，﹣ 1）， ∵ 二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ， ∴ = = ， 解得 t= ， ∴ 在線段 AB 上存在點 G，使得二面角 C﹣ PD﹣ G 的余弦值為 ，且 AG= ． 26．設(shè) i 為虛數(shù)單位， n 為正整數(shù)， θ∈ [0， 2π）． （ 1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（ cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ； （ 2）已知 ，試利用（ 1）的結(jié)論計算 z10． 【考點】 RG：數(shù)學(xué)歸納法． 【分析】 （ 1）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，注意和差公式的應(yīng)用． （ 2）利用（ 1）的結(jié)論即可得出． 【解答】 證明：（ 1）證明： 1176。當 n=1 時，左邊 =右邊 =cosθ+isinθ，所以命題成立； 2176。假設(shè)當 n=k 時，命 題成立，即（ cosθ+isinθ） k=coskθ+isinkθ， 則當 n=k+1 時，（ cosx+isinθ） k+1=（ cosθ+isinθ） k?（ cosθ+isinθ） =（ coskθ+isinkθ）（ cosθ+isinθ） =（ coskθcosθ﹣ sinkθsinθ） +i（ sinkθcosθ+coskθsinθ） =cos（ k+1） θ+isin（ k+1） θ ∴ 當 n=k+1 時，命題成立； 綜上，由 1176。和 2176?？傻?，（ cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ． （ 2） =2（ ﹣ ） =2（ cos +isin ）， ∴ z10=210（ cos π+isin π） =210（ cos +isin ） =210（ + i） =512+512 i 2017 年 5 月 24 日