【正文】 n+1=bn2+bn（ n∈ N*），其前 7 項(xiàng)和為 42． （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng)公式； （ 2）令 = ，數(shù)列 {}的前 n 項(xiàng)和為 Tn，若對(duì)任意正整數(shù) n，都有 Tn≥2n+a，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）將數(shù)列 {an}， {bn}的項(xiàng)按照 “當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， an 放在前面；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，bn 放在前面 ”的要求進(jìn)行排 列，得到一個(gè)新的數(shù)列： a1， b1， b2， a2， a3， b3， b4， a4， a5， b5， b6， … ，求這個(gè)新數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Pn． 【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ? n∈ N*滿(mǎn)足 ，且 a1=1，可得數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 ．利用通項(xiàng)公式可得 Sn．利用遞推關(guān)系即可得出 an．正項(xiàng)數(shù)列 {bn}滿(mǎn)足 bn+12﹣ bn+1=bn2+bn（ n∈ N*），化為：（ bn+1+bn）（ bn+1﹣ bn） =bn+1+bn，可得 bn+1﹣ bn=1．再利用等差數(shù)列的求和公式即可 得出． （ 2） = =2+2 ，利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出． （ 3） n=2k 時(shí)， Pn=P2k=（ a1+a2+… +ak） +（ b1+b2+… +bk）． n=2k﹣ 1 時(shí)， 2k被 2 整除而不能被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ bk． 2k 被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ ak． 【解答】 解：（ 1）數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， ? n∈ N*滿(mǎn)足 ，且 a1=1， ∴ 數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 ． ∴ =1+ （ n﹣ 1），解得 Sn= ． ∴ n≥ 2 時(shí)， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= ﹣ =n， n=1 時(shí)也成立． ∴ an=n． 正項(xiàng)數(shù)列 {bn}滿(mǎn)足 bn+12﹣ bn+1=bn2+bn（ n∈ N*），化為：（ bn+1+bn）（ bn+1﹣ bn） =bn+1+bn， ∴ bn+1﹣ bn=1． ∴ 數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列，公差為 1． ∵ 其前 7 項(xiàng)和為 42， ∴ 7b1+ 1=42，解得 b1=3． ∴ bn=3+n﹣ 1=n+2． （ 2） = =2+2 ， ∴ 數(shù)列 {} 的前 n 項(xiàng)和Tn=2n+2 +… + + =2n+2 =2n+2 ， Tn≥ 2n+a，化為： 2 ≥ a， ∴ a≤ ． ∴ 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ． （ 3） n=2k 時(shí)， Pn=P2k=（ a1+a2+… +ak） +（ b1+b2+… +bk） = + =k2+3k= +3 = ． n=2k﹣ 1 時(shí)， 2k被 2 整除而不能被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ bk= ﹣（ k+2）=k2+2k﹣ 2． 2k 被 4 整除時(shí)， Pn=P2k﹣ ak= ﹣ k=k2+2k． 20．已知函數(shù) f（ x） = ． （ 1）求曲線(xiàn) y=f（ x）與直線(xiàn) 2x+y=0 垂直的切線(xiàn)方程； （ 2）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 3）若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） =aelnx+ ?lnx?f（ x） ≤ a 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； 6E：利 用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值； 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程． 【分析】 （ 1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線(xiàn)方程即可； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由 f′（ x） ＜ 0 得 0＜ x＜ 1 或 1＜ x＜ e，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間； （ 3）由已知，若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） ≤ a 成立，則只需滿(mǎn)足當(dāng) x∈ [e， +∞ ）， g（ x） min≤ a 即可． 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f′（ x） = ， 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（ a， ）， 而曲線(xiàn) y=f（ x）與直線(xiàn) 2x+y=0 垂直的切線(xiàn)的斜率 k= ， 故 = ，解得： a=e2， 故切點(diǎn)坐標(biāo)是：（ e2， e2）， 故切線(xiàn)方程是： y﹣ e2= （ x﹣ e2）， 即 x﹣ y+ e2=0； （ 2） f′（ x） = ， 由 f′（ x） ＜ 0，得 0＜ x＜ 1 或 1＜ x＜ e， 所以函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）和（ 1， e）； （ 3）因?yàn)?g（ x） =aelnx+ x2﹣（ a+e） x， 由已知，若存在 x0∈ [e， +∞ ），使函數(shù) g（ x） =aelnx+ x2﹣ ?lnx?f（ x） ≤ a成立， 則只需滿(mǎn)足當(dāng) x∈ [e， +∞ ）， g（ x） min≤ a 即可， 又 g（ x） =aelnx+ x2﹣（ a+e） x， 則 g′（ x） = ， a≤ e，則 g′（ x） ≥ 0 在 x∈ [e， +∞ ）上恒成立， ∴ g（ x）在 [e， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ g（ x） min=g（ e） =﹣ ， ∴ a≥ ﹣ ， ∵ a≤ e， ∴ ﹣ ≤ a≤ e， a＞ e，則 g（ x）在 [e， a）上單調(diào)遞減，在 [a， +∞ ）上單調(diào)遞增， ∴ g（ x）在 [e， +∞ ）上的最小值是 g（ a）， ∵ g（ a） ＜ g（ e）， a＞ e， ∴ 滿(mǎn)足題意， 綜上所述， a≥ ﹣ ． 數(shù)學(xué) Ⅱ （理科加試） [選做題 ]本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． A． [選修 41：幾何證明選講 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 21．如圖， A， B， E 是 ⊙ O 上的點(diǎn)，過(guò) E 點(diǎn)的 ⊙ O 的切線(xiàn)與直線(xiàn) AB 交于點(diǎn) P，∠ APE 的平分線(xiàn)和 AE， BE 分別交于點(diǎn) C， D．求證： （ 1） DE=CE； （ 2） ． 【考點(diǎn)】 NC：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段． 【分析】 （ 1）證明 ∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPC=∠ CPA，可得 ∠ ECD=∠ EDC，即可證明結(jié)論； （ 2）證明 △ EPB∽△ APE，得 = ， PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)，得 = ，即可證明結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1） ∵ PE 是 ⊙ O 的切線(xiàn)， ∴∠ PEB=∠ PAC， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)， ∴∠ EPC=∠ CPA， ∴∠ PEB+∠ EPC=∠ PAC+∠ CPA， ∴∠ ECD=∠ EDC， ∴ DE=CE； （ 2） ∵∠ PEB=∠ PAC， ∠ EPB=∠ APE， ∴△ EPB∽△ APE， ∴ = ， ∵ PC 是 ∠ APE 的平分線(xiàn)， ∴ = ， ∴ ． B． [選修 42：矩陣與變換 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 22．已知二階矩陣 M 有特征值 λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 = ，并且矩陣 M將點(diǎn)（﹣ 1， 3）變換為（ 4， 16），求矩陣 M． 【考點(diǎn)】 OV：特征值與特征向量的計(jì)算． 【分析】 設(shè)出矩陣，利用特征向量 的定義，即二階變換矩陣的概念，建立方程組，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：設(shè) ， ∵ 特征值 λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 = ，矩陣 M 將點(diǎn)（﹣ 1， 3）變換為（ 4，16）， ∴ ，解得 ， ∴ M= … C． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]（本小題滿(mǎn)分 0 分） 23．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線(xiàn) l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)），曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程是 ρcos2θ=4sinθ．