【導(dǎo)讀】1．掌握正切的意義，坡度的概念，用正切表示生活中物體的傾斜程度.2．培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力.3．積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.1．從現(xiàn)實(shí)情景中探索直角三角形的邊、角關(guān)系.字母表示一個角，并表示它的正切時，角的符號“∠”不能省略，如tan∠BAC。正切是在直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段長度的比值，它是數(shù)值，∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB，又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，的對邊的鄰邊的對邊斜邊斜邊的鄰邊。比較sinA與cosB的大?。籅′P＝2，那么PP′的長為．(不取近似值，以下數(shù)值供解題使用：sinl5°

　　

【正文】 D 于點(diǎn) K， 在 Rt△ BCK 中，∠ CBK＝ 90176。－ 60176。＝ 30176。， 設(shè) CK＝ x 海里，則 BK=3x 海里．連接 AC． 在 Rt△ CAN 中，∠ CAN＝ 45176。，∴ AN＝ NC，∴ AM＋ MN＝ CK＋ KN． 又 MN＝ BK， BM＝ KN，∴ x＋ 53＝ 5＋3x，解得 x＝ 5． ∵ 5＞ ，∴漁船沒有觸礁的危險(xiǎn)． 【解題策略】 解這類題的方法是過目標(biāo)點(diǎn)作垂線，構(gòu)造直角三角形，設(shè)出未知數(shù)，運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系 ，建立方程求解． ┃分析┃ 建立直角三角形求解． 解 ： (1)設(shè)出發(fā)后 x小時兩船與港口 P的距離相等． 根據(jù)題意得 8l－ 9x＝ 18x，解此方程，得 x＝ 3． 即出發(fā)后 3小時兩船與港口 P的距離相等． (2)設(shè)出發(fā)后 y小時乙船在甲船的正東方向． 此時甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn) C， D處，連接 CD(如圖 l— 53所示 )． 過點(diǎn) P作 PE⊥ CD，垂足為 E在點(diǎn) P的正南方向． 在 Rt△ CEP 中，∠ CPE＝ 45176。，∴ PE＝ PCcos 45176。． 在 Rt△ PED 中， ∠ EPD＝ 60176。，∴ PE＝ PDcos 60176。． ∴ PCcos 45176。＝ PDcos 60176。， 即 (81－ 9y)cos 45176。 =18ycos 60176。， 解得 y≈ ．∴出發(fā)后約 小時乙船在甲船的正東方向． ┃分析┃ 本題主要考查建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題．把航海問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型． 解 ： (1)設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最初遇到臺風(fēng)的時間為 t小時， 此時，輪船位于 C 處，臺風(fēng)中心移到 E處， 連 接 CE，則有 AC＝ 20t， AE＝ AB－ EB＝ 100－ 40t， EC＝ 2010． 在 Rt△ ACE 中，因?yàn)?AE2＋ AC2=EC2， 所以 (20t)2＋ (100－ 40t)2＝ (2010)2，所以 t2－ 4t＋ 3＝ 0．① 因?yàn)椤鳎?(－ 4)2－ 4 1 3＝ 4＞ 0，所以方程有解，即途中會遇到臺風(fēng)． 解方程①得 (t1=1， t2＝ 3(舍去 )．所以最初遇到臺風(fēng)的時間為 1小時． (2)設(shè)臺風(fēng)抵達(dá) D處的時間為 t小時，此時臺風(fēng)中心到達(dá) M處， 過 D 作 DF⊥ AB 于 F，連接 DM． 在 Rt△ ADF 中， AD＝ 60，∠ FAD＝ 60176。，所以 DF＝ 303， FA＝ 30． 又 FM=FA＋ AB－ BM＝ 130－ 40t， MD＝ 2010， 所以 (303)2＋ (130－ 40t)2＝ (20 )2， 即 4t2－ 26t＋ 39=0，解得 t1＝13 134?,t2＝13 134?(舍去 )． 所以臺風(fēng)抵達(dá) D處的時間為13 134?小時， 所以這段時間內(nèi)輪船的速度應(yīng)為 60247。13 134?≈ (海里 /時 )， 因?yàn)橐?輪船在臺風(fēng)到來之前到達(dá) D 港， 所以這段時間內(nèi)輪船的速度應(yīng)為 海里／時， 因此為使臺風(fēng)抵達(dá) D處之前輪船到達(dá) D處，輪船應(yīng)提速 海里／時． 【解題策略】 把航海問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型． ┃分析┃ 結(jié)合勾股定理的相關(guān)知識解三角形． 解 ： (1)在 Rt△ ABC 中，因?yàn)?tan A＝43BCAB?，所以∠ A≈ 53176。． 如圖 1— 57所示，過點(diǎn) D作 DE⊥ BC于點(diǎn) E， 所以 Rt△ ABC∽ Rt△ DEC，所以AB ACDE CD?． 又因?yàn)?AC＝22AB BC?＝15 20?＝ 25(海里 )， 所以 DE＝ABCDAC?＝251025? 15＝ 9(海里 )， 所以 D到 BC的距離為 9海里． (2)設(shè)相遇時乙船航行了 x海里，則 DF＝ x海里， AB＋ BF＝ 2x海里． 因?yàn)?CD＝ 15海 里， DE＝ 9海里，所以 CE=12 海里， 所以 EF=15＋ 20－ 2x－ 12＝ (23－ 2x)(海里 )． 在 Rt△ DEF 中， EF2＋ DE2＝ DF2，所以 (23－ 2x)2＋ 92=x2， 解得 x1≈ (連接 BD， ＞ BD＝22DE BE?＝2289?≈ ，不合題意，舍去 )， x2≈ ． 所以相遇時乙船航行了約 海里． 【解題策略】 解決梯形問題，通常作高將其轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，再結(jié) 合解直角三角形的知識解決問題． 體驗(yàn)中考 ┃分析┃ 本題主要考查解直角三角形． 解 ： (1)B(1003，－ 1003) C(1003， 200－ 1003) (2)過點(diǎn) C作 CD⊥ OA于點(diǎn) D， 如圖 1— 60所示，則 CD=1003km． 在 Rt△ ACD 中，∠ ACD＝ 30176。， CD＝ 1003km， ∴ CA=cos 30176。 = 2，∴ CA=200 km． ∵2021030?=6(h)， 5＋ 6=11(h)， ∴臺風(fēng)從生成到最初侵襲該城要經(jīng) 測量物體的高度 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 能夠設(shè)計(jì)測量方案 、說明測量理由，能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題 . 2. 能對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對儀器進(jìn)行調(diào)整和對測量的結(jié)果進(jìn)行矯正，從而得出符合實(shí)際的結(jié)果 . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題 . 知識概覽圖 ?????測 量 傾 斜 角測 量 物 體 的 高 度 測 量 底 部 可 以 到 達(dá) 的 物 體 的 高 度測 量 底 部 不 可 以 到 達(dá) 的 物 體 的 高 度 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】測量一棟樓房的高度，你有哪些方法 ?都用到了哪些工具 ? 【問題探究】測量樓房的高度的辦法有很多．例如，用測物體影長的方法可以測出樓房的高度．也可以利用測仰角或俯角的辦法測出樓房的高度． 相應(yīng)用到的測量工具有量角器、標(biāo)桿等等．測量方法很多，這里就不一一列舉了． 教材精華 知識點(diǎn) 1 測量傾斜角 測量傾斜角可以用測傾器．簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成 (如圖 1— 68 所示 )． 測傾器的制作． 簡易測傾器可以自己制作．用木板做一個半圓刻度盤，半徑是 15～ 20 cm(90176?！?0176?！?90176。 )，用螺釘、螺母把它和一根長 130 cm 的木桿連在一起，并在半圓圓心處掛一個鉛垂線，直徑的兩端釘兩個標(biāo)針 (如圖 1— 69 所示 )．當(dāng)木桿與地面垂直時，通過標(biāo)針的視線是水平的． 使用測 傾器測量傾斜角的步驟． (1)把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的 0176。刻度線重合，這時度盤的頂線 PQ在水平位置； (2)如圖 1— 70 所示，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑 PQ 對準(zhǔn)目標(biāo) M，記下此時鉛垂線所指的度數(shù)； (3)根據(jù)同角的余角相等可以知道，所測傾斜角即仰角∠ AOM 等于鉛垂線所指的度數(shù)，讀出鉛垂線所指的度數(shù)，就是∠ AOM 的度數(shù)． 拓展 (1)測傾器的制作和使用的原理是：“同角的余角相等” (測仰角 )、“對頂角相等”或“同角的余角相等” (測俯角 )． (2)90176?！?0176?！?90176。的意思是使半圓刻度盤的刻度以 0176。為中心，然后向左、右分別增加到 90176。，也就是說，這個半圓刻度盤的刻度不是 0176。～ 180176。． 知識點(diǎn) 2 測量物體的高度 測量底部可以到達(dá)的物體的高度． 所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離． 如圖 1— 71所示，要測量旗桿 MN 的高度，如果從測點(diǎn)到旗桿 MN 的底部的水平距離可以直接量得，高度 MN 就可以測出，具體過程如下： (1)工具 —— 測傾器． (2)步驟： ①在測點(diǎn) A處安 置測傾器，測得旗桿頂 M 的仰角∠ MCE＝ a； ②量出測點(diǎn) A 到旗桿底部 N 的水平距離 AN＝ l； ③量出測傾器的高度 AC=a(即頂線 PQ 成水平方向時，它與地面的距離 )； ④按照 MN＝ ltana＋ a 的關(guān)系式，就可求得 MN 的高 (這是因?yàn)?MN=ME＋ EN＝ltan a＋ a)． (3)填寫活動報(bào)告如下． 活動報(bào)告 年 月 日 課題 測量底部不可以到達(dá)的物體的高度． 測量 示意圖 測得數(shù)據(jù) 測量項(xiàng)目 第一次 第二次 平均值 AN 的長 測傾器的高度AC 仰角 a 計(jì)算過程 旗桿高 MN（精確到 ） . ∵ MN=ME+EN,ME=CEtana， CE=AN， EN=AC ∴ MN=ltana+a 活動感受 負(fù)責(zé)人及參加人員 計(jì)算者及復(fù)核者 指導(dǎo)教師 審核意見 備注 測量底部不可以到達(dá)的物體的高度。 所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離． 如圖 l— 72所示，要測量旗桿 MN 的高度，如果從測點(diǎn)到旗桿 MN的水平距離不可以直接量得，可按下列步驟進(jìn)行： (1)在測點(diǎn) A處安置測傾器，測得此時 M的仰角∠ MCE=a； (2)在測點(diǎn) A與物體之間的 B處安置測傾器 (A， B與 N在一條直線上 )，測得此時 M的仰角∠ MDE=β 。 (3)量出測傾器的高度 AC＝ BD＝ A，以及測點(diǎn) A， B之間的距離 AB＝ b； (4)按照 MN= 11tan tanba ?? ＋ a 的關(guān)系式，就可求得 MN 的高 (這是因?yàn)?1 1 1 1ta n ta nta n ta n ta n ta nM E M E b bb M E M N M E a aaaa? ??? ? ? ? ? ? ???). (5)填寫活動報(bào)告 (與前面的活動報(bào)告類似 )． ┃規(guī)律方法小結(jié)┃ 本節(jié)是活動課，活動課題為利用直 角三角形的邊角關(guān)系測量物體的高度，無論從方案的設(shè)計(jì)、實(shí)地的測量，還是到活動報(bào)告的撰寫，都貫穿著數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的原則，滲透著數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．因此，在學(xué)習(xí)中要提高分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識． 解直角三角形知識可以廣泛地應(yīng)用于測量、工程技術(shù)和物理學(xué)中，主要用來計(jì)算距離、高度和角度．解題的關(guān)鍵是建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，即畫出圖形，找出要解的直角三角形，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式，并準(zhǔn)確把握仰角、俯角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離等概念的意義． 常見的圖形與關(guān)系式如下表所 示． 課堂檢測 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 如圖 1— 73所示，小河對岸有一鐵塔 AB，在 C處測得塔頂 A的仰角為 30176。，面對鐵塔前進(jìn) 20 m 到達(dá) D處，測得塔頂 A的仰角為 45176。，求鐵塔的高度． 綜合應(yīng)用題 如圖 l— 74 所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌 CD，甲、乙兩人分別在相距 8 m 的 A， B 兩處測得 D點(diǎn)和 C 點(diǎn)的仰角分別為 45176。和 60176。，且 A， B， E 三點(diǎn)在一條直線上．若 BE＝ 15 m，求這塊廣告牌的高度． (3≈ ，計(jì)算結(jié)果保留整數(shù) ) 如圖 1— 75 所示，在觀測點(diǎn) E 測得小山上鐵塔 頂部 A的仰角為 60176。，鐵塔底部 B 的仰角為 45176。．已知塔高 AB ＝20 m，觀測點(diǎn) E 到地面的距離 EF＝ 35 m，求小山 BD 的高． (精確到 m，3≈ ) 如圖 1— 76 所示，某校九年級 (3)班的一個學(xué)習(xí)小組進(jìn)行測量小山高度的實(shí)踐活動，部分同學(xué)在山腳點(diǎn) A 處測得山腰上一點(diǎn) D的仰角為 30176。，并測得 AD的長度為 180 米，另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn) B 測得 山腳點(diǎn) A 的俯角為 45176。，山腰點(diǎn) D 的俯角為 60176。，請你幫助他們計(jì)算出小山的高度 BC.(計(jì)算過程和結(jié)果都不取近似值 )