【導(dǎo)讀】1．已知a，b是方程2202110xx???2．如圖，已知二次函數(shù)2yaxbxc???）的圖象與x軸交于點A，對稱。x＞3時，y＜0；②3a+b＜0；③213a????②拋物線開口向下，故a＜0，∵12bxa???，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正確；試題分析：作MH⊥AC于H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH為等。腰直角三角形，∴AH=MH=22AM=222?=2，∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=2，∴。，∴ON=1．故選C．。∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴BDODOBOCACOA??，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n. 5．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，以點B為圓心的圓與AD、DC相切，與AB、CB的延。折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∵∠OMG=∠DCG=90°，∠MO. GA=∠DGC，OG=DG，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴。三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形．故④錯誤；8．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1、O2、O3，…=11，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=11，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中

　　

【正文】 出直線 AB與拋物線的交點 B的坐標(biāo)，過點 B作 BH⊥ x軸于 H，如圖1．易得 ∠ BCH=∠ ACO=45176。， BC= 2 ， AC=32，從而得到 ∠ ACB=90176。，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠ BAC的值； （2）過點 E作 EN⊥ y軸于 N，如圖3．易得 AE= 2 EN，則點 M在整個運動中所用的時間可表示為1 2DE EA?=DE+EN．作點 D關(guān)于 AC的對稱點 D′，連接 D′ E，則有 D′ E=DE， D′ C=DC， ∠ D′ CA=∠ DCA=45176。，從而可得 ∠ D′ CD=90176。， DE+EN=D′ E+EN．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng) D′、 E、 N三點共線時， DE+EN=D′ E+EN最?。藭r可證到四邊形 OCD′ N是矩形，從而有 ND′= OC=3， ON=D′ C=DC．然后求出點 D的坐標(biāo)，從而得到 OD、 ON、 NE的值，即可得到點 E的坐標(biāo)． 試題解析：（ Ⅰ ）把 A（0，3 ）， C（3，0）代入 212y x mx n? ? ? ，得 ：31 9 3 02nmn???? ? ? ? ???，解得： 523mn? ????? ??． ∴ 拋物線的解析式為 215 322y x x? ? ?； 聯(lián)立21 3215 322yxy x x? ? ? ????? ? ? ???，解得： 03xy?????或 41xy?????， ∴ 點 B的坐標(biāo)為（4，1）．過點 B作 BH⊥ x軸于 H，如圖1 ，∵ C（3，0）， B（4，1）， ∴ BH=1， OC=3， OH=4， CH=4﹣3= 1， ∴ BH=CH=1． ∵∠ BHC=90176。， ∴∠ BCH=45176。， BC= 2 ． 同理： ∠ ACO=45176。， AC= 32， ∴∠ ACB=180176。﹣45176。﹣45176。=90176。， ∴ tan∠ BAC= BCAC =232=13 ； （ Ⅱ ）（1）存在點 P，使得以 A， P， Q為頂點的三角形與 △ ACB相似．過點 P作 PG⊥ y軸于 G，則 ∠ PGA=90176。．設(shè)點 P的橫坐標(biāo)為 x，由 P在 y軸右側(cè)可得 x＞0，則 PG=x，∵ PQ⊥ PA， ∠ ACB=90176。， ∴∠ APQ=∠ ACB=90176。． 若點 G在點 A的下方， ① 如圖2 ① ，當(dāng) ∠ PAQ=∠ CAB時，則 △ PAQ∽△ CAB． ∵∠ PGA=∠ ACB=90176。， ∠ PAQ=∠ CAB， ∴△ PGA∽△ BCA， ∴ PG BCAG AC?=13，∴ AG=3PG=3x， 則 P（ x，3﹣3 x）． 把 P（ x，3﹣3 x）代入 215 322y x x? ? ?，得 ： 215 3 3 322x x x? ? ? ?，整理得：2 0xx?? ， 解得： 1 0x? （舍去）， 2 1x?? （舍去）． ② 如圖2 ② ，當(dāng) ∠ PAQ=∠ CBA時，則 △ PAQ∽△ CBA， 同理可得：A G= 13 PG= 13x ，則 P（ x，13 3x? ），把 P（ x， 13 3x? ）代入 215 322y x x? ? ?，得 ： 21 5 1332 2 3x x x? ? ? ?，整理得： 2 13 03xx??， 解得： 1 0x? （舍去），2 133x?， ∴ P（ 133 ， 149 ）； 若點 G在點 A的上方， ① 當(dāng) ∠ PAQ=∠ CAB時，則 △ PAQ∽△ CAB，同理可得：點 P的坐標(biāo)為（11，36）． ② 當(dāng) ∠ PAQ=∠ CBA時， 則 △ PAQ∽△ CBA， 同理可得：點 P的坐標(biāo)為 P（ 173 ， 449 ）． 綜上所述：滿足條件的點 P的坐標(biāo)為（11，36）、（ 133 ， 149 ）、（ 173 ， 449 ）； （2）過點 E作 EN⊥ y軸于 N，如圖3． 在 Rt△ ANE中， EN=AE?sin45176。= 22 AE，即 AE= 2 EN， ∴ 點 M在整個運動中所用的時間為1 2DE EA?=DE+EN．作點 D關(guān)于 AC的對稱點 D′，連接 D′ E，則有 D′ E=DE， D′ C=DC， ∠ D′CA=∠ DCA=45176。， ∴∠ D′ CD=90176。， DE+EN=D′ E+EN．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當(dāng) D′、E、 N三點共線時， DE+EN=D′ E+EN最?。藭r， ∵∠ D′ CD=∠ D′ NO=∠ NOC=90176。， ∴ 四邊形OCD′ N是矩形， ∴ ND′= OC=3， ON=D′ C=DC．對于 215 322y x x? ? ? ，當(dāng) y=0時，有215 3022xx? ? ?，解得： 1 2x? ， 2 3x? ，∴ D（2，0）， OD=2， ∴ ON=DC=OC﹣ OD=3﹣2=1， ∴ NE=AN=AO﹣ ON=3﹣1=2， ∴ 點 E的坐標(biāo)為（2，1）． 考點：二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定與性質(zhì)； 動點型；存在型；分類討論 ； 綜合題；壓軸題 ． 30． 如圖， ⊙ E的圓心 E（3，0），半徑為5， ⊙ E與 y軸相交于 A、 B兩點（點 A在點 B的上方），與 x軸的正半軸交于點 C，直 線 l的解析式為 3 44yx??，與 x軸相交于點 D，以點 C為頂點的拋物線過點 B． （1）求拋物線的解析式； （2）判斷直線 l與 ⊙ E的位置關(guān) 系，并說明理由； （3）動點 P在拋物線上，當(dāng)點 P到直線 l的距離最小時．求出點 P的坐標(biāo)及最小距離． 【答案】 （1） 21 416y x x? ? ? ?；（2） 直線 l與 ⊙ E相切與 A；（3） P（2， 94? ） ， 315． 【解析】 試題分析：（1）連接 AE，由已知得：A E=CE=5， OE=3，利用勾股定理求出 OA的長，結(jié)合垂徑定理求出 OC的長，從而得到 C點坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的解析式； （2）求出點 D的坐標(biāo)，根據(jù)△ AOE∽△ DOA， 求出 ∠ DAE=90176。，判斷出直線 l與 ⊙ E相切與 A； （3）過點 P作直線 l的垂線段 PQ，垂足為 Q，過點 P作直線 PM垂直于 x軸，交直線 l于點 M．設(shè) M（ m， 3 44m?）， P（ m， 21 416 mm? ? ?），得到 PM= 2314 ( 4 )4 1 6m m m? ? ? ? ?=211816 4mm??= 21 31( 2)16 4m??，根據(jù)△ PQM的三個內(nèi)角固定不變，得到 PQ最小= PM最小 ?sin∠ QMP=PM最小 ?sin∠ AEO=31445? =315 ，從而得到最小距離． 試題解析：（1）如圖1，連接 AE，由已知得：A E=CE=5， OE=3，在 Rt△ AOE中，由勾股定理得， OA= 22AE OE? = 2253? =4， ∵ OC⊥ AB， ∴ 由垂徑定理得， OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8， ∴ A（0，4）， B（0，﹣4）， C（8，0）， ∵ 拋物線的定點為 C， ∴ 設(shè)拋物線的解析式為 2( 8)y a x??，將點 B的坐標(biāo)代入上解析的式，得64 a=﹣4，故 a= 116? ， ∴21 ( 8)16yx?? ? ， ∴ 所求拋物線的解析式 為： 21 416y x x? ? ? ?； （2）在直線 l的解析式 3 44yx??中，令 y=0，得 3 404x?? ，解得 x= 163? ， ∴ 點 D的坐標(biāo)為（ 163? ，0），當(dāng) x=0時， y=4， ∴ 點 A在直線 l上，在 Rt△ AOE和 Rt△ DOA中， ∵34OEOA? ， 34OAOD? ， ∴ OE OAOA OD? ， ∵∠ AOE=∠ DOA=90176。， ∴△ AOE∽△ DOA， ∴∠ AEO=∠ DAO， ∵∠ AEO+∠ EAO=90176。， ∴∠ DAO+∠ EAO=90176。，即 ∠ DAE=90176。，因此，直 線 l與 ⊙ E相切與 A； （3）如圖2，過點 P作直線 l的垂線段 PQ，垂足為 Q，過點 P作直線 PM垂直于 x軸，交直線 l于點 M． 設(shè) M（ m， 3 44m? ）， P（ m， 21 416 mm? ? ? ），則 PM= 2314 ( 4 )4 1 6m m m? ? ? ? ?=211816 4mm??= 21 31( 2)16 4m??，當(dāng) m=2時， PM取得最小值 315 ，此時， P（2， 94? ），對于△ PQM， ∵ PM⊥ x軸， ∴∠ QMP=∠ DAO=∠ AEO，又 ∠ PQM=90176。， ∴△ PQM的三個內(nèi)角固定不變， ∴ 在動點 P運動的過程中，△ PQM 的三邊的比例關(guān)系不變， ∴ 當(dāng) PM取得最小值時， PQ 也取得最小值， PQ最小= PM最小 ?sin∠ QMP=PM最小 ?sin∠ AEO= 31445?= 315， ∴ 當(dāng)拋物線上的 動點 P的坐標(biāo)為（2， 94?）時，點 P到直線 l的距離最小，其最小距離為 315． 考點：二次函數(shù)綜合題 ；二次函數(shù)的最值；探究型；最值問題；動點型；綜合題；壓軸題．