高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入-資料下載頁(yè)
2025-11-08 23:14本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】已知方程x2－22x＋2＝0，x2＋1＝0.提示：在有理數(shù)集中無(wú)解；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，其解為2.復(fù)數(shù)的全體組成的集合，記作C.顯然RC.設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?問(wèn)題3：在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)Z(a，b)與向量＝(a，問(wèn)題4：復(fù)數(shù)z＝a＋bi與有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？實(shí)數(shù)，它們是一一對(duì)應(yīng)的；表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上，對(duì)于③，因?yàn)閍＋i和b＋i是虛數(shù)，所以不能比較大小；cosθ＝2－cosθ，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí)，應(yīng)分清楚兩復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，注意小題的條件x，y∈R，若x，y未說(shuō)明是實(shí)數(shù)，位于直線y＝x上？
【正文】 若復(fù)數(shù) z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上，則 ????? m2－ m － 20 ，m2－ 3 m ＋ 2 ＝ 0 ， 解得 m ＝ 1 ， ∴ z ＝－ 2. [例 4] 設(shè) z∈ C，判斷滿足下列條件的復(fù)數(shù) z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？ (1)|z|＝ 2； (2)|z|≤3. [精解詳析 ] 法一： (1)復(fù)數(shù) z的模等于 2，這表明向量 的 長(zhǎng)度等于 2，即點(diǎn) Z到原點(diǎn)的距離等于 2，因此滿足條件 |z|＝ 2的點(diǎn) Z的集合是以原點(diǎn) O為圓心，以 2為半徑的圓． (2)滿足條件 |z|≤3的點(diǎn) Z的集合是以原點(diǎn) O為圓心，以 3為半徑的圓及其內(nèi)部． OZ法二： 設(shè) z＝ x＋ yi(x， y∈ R)． (1)|z|＝ 2， ∴ x2＋ y2＝ 4， ∴ 點(diǎn) Z的集合是以原點(diǎn) O為圓心，以 2為半徑的圓． (2)|z|≤3， ∴ x2＋ y2≤9. ∴ 點(diǎn) Z的集合是以原點(diǎn) O為圓心，以 3為半徑的圓及其內(nèi)部． [一點(diǎn)通 ] (1)解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種方法： ①根據(jù) |z|表示點(diǎn) Z和原點(diǎn)間的距離，把復(fù)數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何條件； ②設(shè)出復(fù)數(shù)，利用模的定義，把復(fù)數(shù)方程 (不等式 )轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程 (不等式 )． (2)設(shè)出復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本思想． 8．若復(fù)數(shù) z＝ (m－ 2)＋ mi的模等于 2，則實(shí)數(shù) m的值為 __________． 解析： 由題意得 ? m － 2 ?2＋ m2＝ 2 ， 即 2 m2－ 4 m ＋ 4 ＝ 4 ，解得 m ＝ 0 或 2 ， 即實(shí)數(shù) m 的值為 0 或 2. 答案： 0或 2 9 ．求復(fù)數(shù) z 1 ＝ 6 ＋ 8i 及 z 2 ＝－12 － 2 i 的模，并比較它們的 模的大?。? 解： ∵ z1＝ 6 ＋ 8i ， z2＝－12－ 2 i ， ∴ | z1|＝ 62＋ 82＝ 10 ， | z2|＝ ??????－122＋ ? － 2 ?2＝32. ∵ 1032， ∴ | z1| | z2|. 1．區(qū)分實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，特別要明確：實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，要把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)加以區(qū)別．對(duì)于純虛數(shù) bi(b≠0， b∈ R)不要只記形式，要注意 b≠0. 2．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng)，可知復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi(a， b∈ R)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z(a， b)和平面向量 之間的關(guān)系可用圖表示． OZ
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