【正文】 于 q時(shí)， Xt的自協(xié)方差系數(shù)為 0。 因此 :有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的 。 由于 ARMA (p,q)模型是 AR(p)模型與 MA(q)模型的組合： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此 ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于 AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當(dāng) AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 總結(jié) （ 1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型； （ 2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。 因此， 如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時(shí)間序列是一個(gè) 自回歸單整移動(dòng)平均（ autoregressive integrated moving average）時(shí)間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 例如， 一個(gè) ARIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然， 一個(gè) ARIMA(p,0,0)過程表示了一個(gè)純AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè) ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純 MA(q)平穩(wěn)過程。 三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 ， 就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列 ， 找出生成它的合適的隨機(jī)過程或模型 ， 即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過程 、 還是遵循一純 MA過程或 ARMA過程 。 所使用的工具 主要是 時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù) （ autocorrelation function， ACF） 及 偏自相關(guān)函數(shù) （ partial autocorrelation function， PACF ） 。 AR(p)過程 (1)自相關(guān)函數(shù) ACF ? 1階自回歸模型 AR(1)： Xt=?Xt1+ ?t 的 k階滯后 自協(xié)方差 為： 011 ))(( ??????? kkttktk XXE ???? ????=1,2,… 因此， AR(1)模型的 自相關(guān)函數(shù) 為： kkk ???? ?? 0?=1,2,… 由 AR(1)的穩(wěn)定性知 |?|1，因此， k??時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零 。 這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱AR(1)有無窮記憶 （ infinite memory）。 注意 ， ?0時(shí)，呈振蕩衰減狀 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t 該模型的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為： ? ２階自回歸模型 AR(2) 22210 ???????0211212023??????????????類似地 ,可寫出一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： 22112211 ))(( ????? ????? kktttktk rXXXE ??????? (K=2,3,…) 于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù) 為 ： 2211 ?? ?? kkk ????? (K=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1 如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實(shí)虛性， 若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 ? 一般地 ， p階自回歸模型 AR(p)： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t k期滯后協(xié)方差為 : pkpkktptpttKtk XXXXE?????????????????????????????22112211 ))((從而有 自相關(guān)函數(shù) : pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211 可見， 無論 k有多大， ?k的計(jì)算均與其１到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān) ，因此 呈拖尾狀 。 如果 AR(p)是穩(wěn)定的，則 |?k|遞減且趨于零 。 事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù) ： pkpkkk ??? ???? ?????? ?2211是一 p階差分方程，其通解為： ???pikiik zC1? 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根 ， 由 AR(p)平穩(wěn)的條件知 ， |zi|1。 因此 ， 當(dāng) 1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí) ， ?k呈幾何型衰減 （ 單調(diào)或振蕩 ） ； 當(dāng)存在虛數(shù)根時(shí) ， 則一對(duì)共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個(gè)阻尼正弦波項(xiàng) ， ?k呈正弦波衰減 。 （ 2）偏自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 例如，在 AR(1)隨機(jī)過程中， Xt與 Xt2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關(guān)性帶來的 : )()( 2112122 ?????? tttt XXEXXE??? 即自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的 “ 間接 ” 相關(guān)。 與之相反 ， Xt與 Xtk間的 偏自相關(guān)函數(shù)(partial autocorrelation，簡(jiǎn)記為 PACF)則是消除了中間變量 Xt1， ? ， Xtk+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， ? ，Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。 從 Xt中去掉 Xt1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ?t，顯然它與 Xt2無關(guān)，因此我們說 Xt與 Xt2的偏自相關(guān)系數(shù) 為零， 記為 ： 在 AR(1)中， 0),( 2*2 ?? ?tt XCo r r ?? 同樣地 ， 在 AR(p)過程中 ， 對(duì)所有 的 kp， Xt與 Xtk間的 偏自相關(guān)系數(shù) 為零 。 AR(p)的一個(gè)主要特征是 :kp時(shí)，?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則： 若 Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在 p以后截尾 ， 即 kp時(shí) ，?k*=0， 而它的自相關(guān)函數(shù) ?k是拖尾的 ， 則此序列是自回歸 AR(p)序列 。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù) ?k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng) kp時(shí)， rk*不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng) kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布 : rk*~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 需指出的是 ， 我們就有 %的把握判斷原時(shí)間序列在 p之后截尾。 nrk 2|| * ?因此，如果計(jì)算的 rk*滿足： 對(duì) MA(1)過程 ： MA(q)過程 1??? tttX ???可容易地寫出它的 自協(xié)方差系數(shù) ： 0)1(3221220??????????????????于是 ， MA(1)過程的 自相關(guān)函數(shù) 為 ： 0)1(3221???????????? 可見， 當(dāng) k1時(shí)， ?k0，即 Xt與 Xtk不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 MA(1)過程可以等價(jià)地寫成 ?t關(guān)于無窮序列Xt， Xt1， … 的線性組合的形式： ????? ?? 221 tttt XXX ???或 ： tttt XXX ??? ????? ?? ?221（ *） (*)是一個(gè) AR(?)過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 注意 : (*)式只有當(dāng) |?|1時(shí)才有意義，否則意味著距 Xt越遠(yuǎn)的 X值，對(duì) Xt的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們 把 |?|1稱為 MA(1)的可逆性條件（ invertibility condition）或可逆域。 其 自協(xié)方差系數(shù) 為 ： 一般地， q階移動(dòng)平均過程 MA(q) qtqtttX ?? ???? ????? ?11??????????????????? ???qkqkkXXEr qkqkkqkttk當(dāng)當(dāng)當(dāng)01)(0)1()( 112222212??????????????相應(yīng)的 自相關(guān)函數(shù) 為： ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k q k q qrrkk qk q? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?01 1 12 21 01 10當(dāng)當(dāng)當(dāng)( ) / ( )? ? 可見 ， 當(dāng) kq時(shí) ， Xt與 Xtk不相關(guān) ， 即存在截尾現(xiàn)象 ， 因此 ， 當(dāng) kq時(shí) ， ?k=0是 MA(q)的一個(gè)特征 。 于是： 可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為 0來判斷 MA(q)模型的階 。 與 MA(1)相仿，可以驗(yàn)證 MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則： 若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自 q以后， ?k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均MA(q)序列。 同樣需要注意的是 ： 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù) rk是總體自相關(guān)函數(shù) ?k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng) kq時(shí)， rk不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng) kq時(shí)， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 因此 ， 如果計(jì)算的 rk滿足： nr k2|| ?我們 就有 %的把握判斷原時(shí)間序列在 q之后截尾 。 ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù) ， 可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和 AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng) p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì) ； 當(dāng) q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng) p、 q都不為 0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) ARMA(p, q)過程 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p， q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF） 可能在 p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（ spikes），但從 p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零； 而 它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF） 則是在 q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從 q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。 表 9 . 2 . 1 A R M A ( p , q ) 模型的 AC F 與 P AC F 理論模式 模型 AC F P AC F 白噪聲 0?k? 0*?k? AR ( p ) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾： 0*?k? ， k p M A ( q ) q 階后截尾：， 0?k? ， k q 衰減趨于零（幾何型或振蕩 型） AR M A ( p , q ) q 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） 圖 9. 2 . 2 A R M A ( p , q ) 模型的 ACF 與 P A C F 理論模式 A C F P A C F 模型 1 ： tttXX ???? 10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8A C F10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8P A C F 1 模型 2 ： tttXX ????? 1