第2章-23-232拋物線的幾何性質(zhì)-資料下載頁
2025-11-08 17:16本頁面
【導讀】＝2px(p＞0)的范圍、對稱性、頂點坐標嗎？1．直線與拋物線有哪幾種位置關系？2．若直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物線一定相切嗎？根據(jù)題意你能求出p的值嗎？與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，∵△OAB的面積為4，·2|p|＝4，∴p＝±22.于x的方程是什么形式？能直接用判別式法判斷公共點的情況
【正文】 ＝ 12 . 【答案】 12 4 ．若拋物線 y 2 ＝ x 上一點 P 到準線的距離等于它到頂點的距離，求點 P 的坐標． 【解】 根據(jù)題意可知： | PF |＝ | PO |，其中 O 為原點， F 為焦點， ∴ x P ＝x F2＝18， ∴ y P ＝ 177。18＝ 177。12 2＝ 177。24， ∴ P????????18， 177。24. 課后知能檢測 (十三 ) 點擊圖標進入 … 已知拋物線 y2＝ 2 x ， ( 1 ) 設點 A 的坐標為 (23， 0) ，求拋物線 上距離點 A 最近的點 P的坐標及相應的距離 | PA |； ( 2 ) 在拋物線上求一點 P ，使 P 到直線 x － y ＋ 3 ＝ 0 的距離最短，并求出距離的最小值． 【解】 ( 1 ) 設拋物線上任一點 P 的坐標為 ( x ， y ) ， 則 | PA |2＝????????x －232＋ y2＝????????x －232＋ 2 x ＝????????x ＋132＋13. ∵ x ≥ 0 ，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增， ∴ 當 x ＝ 0 時， | PA |m in＝23， 距點 A 最近的點的坐標為 ( 0 , 0 ) ． ( 2 ) 法一 設點 P ( x0， y0) 是 y2＝ 2 x 上任一點， 則 P 到直線 x － y ＋ 3 ＝ 0 的距離為 d ＝| x0－ y0＋ 3|2＝|y202－ y0＋ 3|2＝| ? y0－ 1 ?2＋ 5|2 2， 當 y0＝ 1 時， dm in＝52 2＝5 24， ∴ 點 P 的坐標為????????12， 1 . 法二 設與直線 x － y ＋ 3 ＝ 0 平行的拋物線的切線為 x － y ＋ t＝ 0 ，與 y2＝ 2 x 聯(lián)立，消去 x 得 y2－ 2 y ＋ 2 t ＝ 0 ， 由 Δ ＝ 0 得 t ＝12，此時 y ＝ 1 ， x ＝12， ∴ 點 P 坐標為????????12， 1 ， 兩平行線間的距離就是點 P 到直線的最小距離， 即 dm in＝5 24. 已知拋物線 y2＝ 4 x 與直線 x ＋ y － 2 ＝ 0 的交點為 A ， B ，拋物線的頂點為 O ，在 AO B 上求一點 C ，使 △ ABC 的面積最大，并求出這個最大面積． 【解】 設與直線 AB 平行且與拋物線相切的直線方程為 x ＋ y－ b ＝ 0 ，將它與拋物線方程 y2＝ 4 x 聯(lián)立， 消去 x 得方程 y2＝ 4( b － y ) ，即 y2＋ 4 y － 4 b ＝ 0. 由 Δ ＝ 42－ 4( － 4 b ) ＝ 0 得 b ＝－ 1 ，故切線為 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 求得切點 C (1 ，－ 2) ． 因直線 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 與 x ＋ y － 2 ＝ 0 的距離 d ＝|1 ＋ 2|2＝3 22. 由????? x ＋ y － 2 ＝ 0y2＝ 4 x ， 解得交點坐標為 A (4 ＋ 2 3 ，－ 2 － 2 3 ) ， B (4 － 2 3 ，－ 2 ＋ 2 3 ) ． ∴ | AB |＝ 4 6 . 于是 S △ ABC ＝12| AB | d ＝12 4 6 3 22＝ 6 3 . 所以當 C 點為 (1 ，－ 2) 時， S △ ABC 的最大值為 6 3 .
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