【正文】 4 425 252625 25112441 4853533 41144q q p qqqqqq? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ?????? ? ? ???它表示 25歲半的人在 1個(gè)季度之內(nèi)死亡的概率。 方法 2： 3 3 3 3 1 3 2 2625 25 254 4 4 4 4 4 411 054 853 5q p p p???? ? ? ? ?? 顯然，第 2種方法要簡(jiǎn)單一些。因此，在計(jì)算這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，只要將死亡概率變換為計(jì)算存活概率，就可能使計(jì)算更加簡(jiǎn)化。 2 死亡力為常數(shù)的假設(shè) 如果在每個(gè)整數(shù)年齡上都一個(gè)常數(shù)的死亡力 ，即 ，其中 t 是 [0， 1]上的一個(gè)任意值 ，或者說(shuō)， 在 0≤ t ≤1 上是一個(gè)常數(shù)，我們用 表示這個(gè)常數(shù)，則有： 特別地，當(dāng) t = 1 時(shí)，有 兩邊取對(duì)數(shù)： ，所以： 將它代入以上公式， x? txx ?? ?? tx??21?x?21210210)0(?????????????????xxtxtyxttdydyxteeeep????21???? xepp xxt?21ln ??? xxp ? xx pln21 ???? 可得： 即：在死亡力為常數(shù)的假設(shè)前提下，有以下等式成立： 另外，由于 其中 0≤ t+y ≤1 所以： txpttxt peepxx )(ln21 ??? ??? ??( ) ( 1 )ttt x x xp p q? ? ? txtxxtxt qppq )1(1)(11 ???????10 2ln ) ( 1 )yxx t sxydsy x typ yyxxp e ee p q?? ???????????? ? ? ? yxpyytxytxy peepqxx )(1111 ln21 ???????? ??????12l n l n( 1 )x t x xxpq????? ? ? ? ? ?(1) (2) (3) (4) 對(duì)于連續(xù)的死亡力 ，有近似公式 成立， 這是因?yàn)椋? 當(dāng) n=1 時(shí)，有： 兩邊取對(duì)數(shù)： 由積分中值定理，在 [0， 1]之間應(yīng)存在一點(diǎn) c，使得以下等式成立： 我們?nèi)^(qū)間 [0， 1]的中間點(diǎn) 1/2來(lái)近似代替常數(shù) c，則有： ?? ?? n tx dtxn ep0??? ??10dtxtxep ?x?12ln xxp????? ??? 10ln dtp txx ? xcx pln)01( ?????? xx pln21 ???? 例：在死亡力為常數(shù)的假設(shè)下，用 P304表計(jì)算： ， ， 解： 3021q 3021 p4330? 003 865 7)000 (1)1(1)(11212130213030213021??????????? qppq999 613 386 )000 ()1()(21213021303021???????? qpp0007 )0007 (ln 3021304330??????? p?? 例：在死亡均勻分布的假設(shè)下，用 P304表計(jì)算： ， ， 解： 3021q 3021 p4330? 1303021 ????? qq 11303021 ?????? qp0007 7344 0007 4310007 43130304330 ???????qq? 3 鮑德希（ Balducci）假設(shè) 鮑德希是意大利精算師，他首先提出和使用了下面的假設(shè)，即當(dāng) x為整數(shù)， 0≤t≤1時(shí)，假設(shè)存活函數(shù)顛倒數(shù)是 t的線性函數(shù)。用公式表示為： 實(shí)驗(yàn)習(xí)題：對(duì)于 ，驗(yàn)證以上近似公式成立。 由以上公式可解出 ，將公式的右邊通分后相加，得： 在以上公式中，分子分母同除了 111x t x xttl l l?????)1201(1000 xl x ???xl 1111)1()1(11?????????????????xxxxxxxxtx ltptllltltltltl ?xl 所以： 據(jù)此可推導(dǎo)出以下計(jì)算公式成立： tptllxxtx ?????? )1(1xxxxxxxxxxtxxtqtqtqtptptptptllllp)1(11)1)(1()1()1(/1????????????????? ??xxxxxxxxtxtqttqqtqqtqtqpq)1(1)1(11)1(1)1(1111?????????????????（ 1） （ 2） xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtxytxtxytxtxtxyqytyqqytqyqyqtqppyytqyqtpttppytyptppytyptpptptytpytytpyttpttptlytpytllllllq)1(1)()1()1()1()1()1()1()()1()1(1)1()()1(1111?????????????????????????????????????????????????????????????????????（ 3） txtxtx ll?????? )(?21211))1(())1(()1(0)1()(tptlqtptlptptllxxxxxxxxtx ???????????????????????? ????xxxxxxxxxxxtxtxtxqtqtqtqtptqtptltptlqll)1(1)1)(1()1()1())1(()(121???????????????????????????（ 4） 例：在鮑德希假設(shè)下，用 P304表計(jì)算： ， ， 3021q 3021 p4330? 000386 )(13021 ??????q9996 21 ???p 0007731 )(14330 ?????? 函數(shù) 均勻分布 常數(shù)死力 Balducci xqtxtqtxp )(1 ? xxqttq)1(1 ??xt p xqt?1txp )(11 (1 )xxqtq???txy q ?xxtqqytx?? xxtqq?1 yxp )(1 ? xpln xxqtq)1(1 ?? xxqytyq)1(1 ??? P19 [例 3]設(shè)某人在 3個(gè)月前滿(mǎn) 75歲，根據(jù)本章所列生命表，計(jì)算在以上3種假設(shè)下，其在 5年內(nèi)死亡的概率。 解：其在 5年內(nèi)死亡的概率應(yīng)表示為： 5 1 5 1 3 1 76 77 78 79 1 8075 75 754 4 4 4 411q p p p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ?年齡 qx px 75 76 77 78 79 80 其中 317544p和 1 804p在 3種假設(shè)下的概率值分別為： 均勻分布 常數(shù)死力 Balducci 75p1 804 p計(jì)算結(jié)果為： 均勻分布 常數(shù)死力 Balducci 5 幾個(gè)死亡解析規(guī)律的介紹 在 P40圖 31所表示的生存函數(shù)是包括了兩個(gè)拐點(diǎn)的減函數(shù)，它很難用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式準(zhǔn)確的表示出來(lái)。多年來(lái)，數(shù)學(xué)研究人員曾提出過(guò)不少死亡率變動(dòng)規(guī)律，其中著名的有以下幾個(gè)。 最早的也是最簡(jiǎn)單的死亡規(guī)律是 亞伯拉罕 德莫弗 (Abraham de Moivor)在 1729年提出的，他提出 可以用一條直線近似。這一方法盡管很粗糙，但在當(dāng)時(shí)對(duì)年金的計(jì)算起到很大的作用。其生存函數(shù)為： 0 ≤ x ≤ ω 由此可得： xl ?xxs ?? 1)()(0 xsll x ?? ?00 )()(lxsllx ??????xxxsllllxxx???????????????? 111)()(00 1825年，本杰明 龔泊茨 (Benjamin Gompertz)在一篇著名的精算論文中提出，死亡力應(yīng)當(dāng)按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)： 式中， B＞ 0； C≥1； x＞ 0。 可以看出，當(dāng) C=1時(shí)， 為常數(shù)。 例：當(dāng) B=1， C = e 時(shí)，則 所以： 若利用以上公式編輯生命表，需要把 x縮小 倍。 xx CB ???x? xx e? 10 0 ???? ?xx x yy edyedy? 1000 ??? ????? xxy edyx elell?0l 1860年馬克哈姆 (WMMakeham)在龔泊茨規(guī)律的基礎(chǔ)上提出的死亡規(guī)律是： 式中， B＞ 0； A ≥B ； C≥1； x＞ 0。 顯然馬克哈姆規(guī)律當(dāng) A=0時(shí)就是龔泊茨規(guī)律。 1939年威布爾 (Weibull) 提出的規(guī)律是： 式中， k＞ 0； n＞ 0； x ≥0。 xx CBA ???? nx xk ??? 謝謝觀看 /歡迎下載 BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAIT