北師大版數(shù)學(xué)七下第七章生活中的軸對稱典型例題-資料下載頁
2024-11-15 00:40本頁面
【導(dǎo)讀】∵∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，在△PDB和△PDC中，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，在Rt△EAD和Rt△FCD中，∵∠EAD＋∠BAD＝180°，在△EFN中，EN＋FN＞EF，又∵∠BDE=∠ADE，∠ADF＝∠CDF，而∠BDE＋∠ADE＋∠ADF＋∠CDF＝180°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，在△EDF和△MDF中，∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°，∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．。在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，連結(jié)AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，（用什么定理判定三角形全等的？∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，∴∠EAG＋∠GAF＝∠B＋∠C，∴∠EAG＝∠C，∴AG∥BC，∴∠H＝∠B＝∠C＝∠AEH，∵∠AEF＝∠AFE，∠H＋∠AFE＋∠FEH＝180°，∴∠H＋∠AEH＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
【正文】 點(diǎn)悟：先將具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型．河流為直線 MN，在直線 MN的同一側(cè)有 A、 B兩點(diǎn)．在直線 MN上找一點(diǎn) P，使 P點(diǎn)到 A、 B兩點(diǎn)的距離 之和為最?。@里就要充分運(yùn)用軸對稱圖形的性質(zhì)加以解決． 解：如圖 7—19所示．作 B點(diǎn)關(guān)于直線 MN的對稱點(diǎn) B′，連結(jié) AB′，與 MN相交于 P，則 P點(diǎn)即為所求． 事實(shí)上，如果不是 P點(diǎn)而是 P? 點(diǎn)時， 則連結(jié) BP、PA ?? 和 BP?? ． 由軸對稱性知道， BPPBBPBP ?????? , ， 所以 P? 到 A、 B的距離之和， BPPABPPA ???????? ， 而 P到 A、 B的距離之和 BABPAPPBAP ?????? 在 39。PBA?? 中，三角形兩邊之和大于第三邊， BABPPA ?????? 所以 P點(diǎn)即為所求的點(diǎn)． 例 6 如圖 7—20，已知， AD為 △ABC的中線，且 DE平分 ∠ BDA交 AB于 E， DF平分 ∠ ADC交 AC于 F． 求證： BE＋ CF＞ EF． 點(diǎn)悟：遇到角平分線就 可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解決問題． 證法一：在 DA上截取 DN＝ DB．連結(jié) NE、 NF．則 DN＝ DC． 在 △BDE和 △NDE中， ??????????,DEDEN D EB D ENDBD ∴ △BDE≌△ NDE． ∴ BE＝ NE． 同理可得， CF＝ NF． 在 △EFN中， EN＋ FN＞ EF(三角形兩邊之和大于第三邊 )． ∴ BE＋ CF＞ EF． 證法二：如圖 7—21，延長 DE至 M，使 DM＝ ED，連結(jié) CM、 MF． 在 △BDE和 △CDM中， ??????????,DMDEC D MB D ECDBD ∴ △BDE≌△ CDM(SAS)． ∴ CM＝ BE(全等三角形對應(yīng)邊相等 ) 又 ∵ ∠ BDE＝ ∠ ADE， ∠ ADF＝ ∠ CDF， 而 ∠ BDE＋ ∠ ADE＋ ∠ ADF＋ ∠ CDF＝ 180176。 ∴ ∠ ADE＋ ∠ ADF＝ 90176。，即 ∠ EDF＝ 90176。． ∴ ∠ FDM＝ ∠ EDF＝ 90176。． 在 △EDF和 △MDF中， ??????????,DFDFM D FE D FMDED ∴ △EDF≌△ MDF(SAS) ∴ EF＝ MF(全等三角形對應(yīng)邊相等 )． 在 △CMF中， CF＋ CM＞ MF， ∴ BE＋ CF＞ EF． 點(diǎn)撥：本題綜合考查角平分線，中線的意義，三角形全等及線段之間的等量關(guān)系，關(guān)鍵是要把題目中的已知條件集中巧妙應(yīng)用． 【易錯例題分析】 例 已知如圖 7—22，在四 邊形 ABCD中， BC＞ BA， AD＝ CD， BD平分 ∠ ABC． 求證： ∠ A＋ ∠ C＝ 180176。． 證法一：如圖 7—22，過 D作 DE⊥ AB交 BA的延長線于 E， DF⊥ BC于 F． ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴ DE＝ DF 在 Rt△EAD和 Rt△FCD中， ∵ AD＝ DC， DE＝ DF， ∴ Rt△EAD≌ Rt△FCD(HL) ∴ ∠ C＝ ∠ EAD， ∵ ∠ EAD＋ ∠ BAD＝ 180176。， ∴ ∠ A＋ ∠ C＝ 180176。． 證法二：如圖 7—23，在 BC上截 BE＝ AB，連結(jié) DE，證明 △ABD≌△ EBD可得． 證法三：延長 BA到 E，使 BE＝ BC，連結(jié) ED，以下同證法二，如圖 7—24． 警示：本題直接加以證明則不可能，需要巧妙的添加適當(dāng)?shù)妮o助線，不會添加輔助線或添加不適當(dāng)?shù)妮o助線則是最常見的誤區(qū)．本題是用一個角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等的定理來證明線段相等，添加輔助線的方法有多種情況，應(yīng)該很好感悟盡快掌握．
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