北師大版數(shù)學(xué)七下第七章生活中的軸對(duì)稱典型例題-在線瀏覽
2025-01-18 00:40本頁(yè)面
【正文】 中． 例 4 已知，如下圖， P、 Q 是△ ABC 邊 BC 上的兩點(diǎn)，且 BP＝ PQ＝ QC＝ AP＝ AQ．求：∠BAC 的度數(shù)． 解：∵ AP＝ PQ＝ AQ（已知）， ∴ ∠ APQ＝∠ AQP＝∠ PAQ＝ 60176。）， ∵ AP＝ BP（已知），（注意觀察圖形和條件） ∴ ∠ PBA＝∠ PAB（等邊對(duì)等角）， ∴ ∠ APQ＝∠ PBA＋∠ PAB＝ 60176。同理∠ QAC＝ 30176。＋ 60176。＝ 120176。即 AD⊥ BC， ∴ ∠ EDA＋∠ EDB＝ 90176。 ∴ △ AGE≌△ AGF （ ASA）， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， 又∠ EAF＝∠ B＋∠ C，（請(qǐng)對(duì)比多種證法的優(yōu)劣） ∴ ∠ EAG＋∠ GAF＝∠ B＋∠ C， ∴ ∠ EAG＝∠ C，∴ AG∥ BC， ∵ AG⊥ EF， ∴ EF⊥ BC． 證法三：過(guò) E 作 EH∥ BC 交 BA 的延長(zhǎng)線于 H， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， ∴ ∠ H＝∠ B＝∠ C＝∠ AEH， ∵ ∠ AEF＝∠ AFE，∠ H＋∠ AFE＋∠ FEH＝ 180176。 ∴ ∠ AEF＋∠ AEH＝ 90176。 ∴ EF⊥ EH，又 EH∥ BC， ∴ EF⊥ BC． 證法四：延長(zhǎng) EF 交 BC 于 K， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， ∴ ∠ B＝ 21 （ 180176。－ ∠ EAF）， ∵ ∠ BFK＝∠ AFE， ∴ ∠ BFK＝ 21 （ 180176。－ ∠ BAC）＋ 21 （ 180176。－（ ∠ EAF＋ ∠ BAC） ]， ∴ ∠ EAF＋∠ BAC＝ 180176。即 ∠ FKB＝ 90176。 EF 為 AB 的垂直平分線， EF交 BC 于 F，交 AB 于 E，求證： FCBF 21? ． 證法一：連結(jié) AF，則 AF＝ BF， ∴ ∠ B＝∠ FAB（等邊對(duì)等角）， ∵ AB＝ AC， ∴ ∠ B＝∠ C（等邊對(duì)等角）， ∵ ∠ BAC＝ 120176。 ∴ ∠ FAC＝∠ BAC－∠ FAB＝ 120176。＝ 90176。（線段的垂直平分線是常見(jiàn)的對(duì)稱軸之一） ∴ FCAF 21? （直角三角形中 30176。 ∴ ∠ AFG＝ 60176。 ∴ ∠ AGB＝ 60176?！? ∠ GAC＝ 30176?！?DMC＝ 45176?！?DMC＝ 45176。（平角定義） 又∵ AM＝ MD， ∴ △ AMD 為等邊三角形（有一個(gè)角是 60176。 ∵ ∠ DMC＝ 45176。（三角形內(nèi)角和定理）， ∴ CD＝ CM（等角對(duì)等邊）， ∴ AC 是 DM 的垂直平分線 （和線段兩端點(diǎn)等距離的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上）， ∴ ∠ MHC＝ 90176。 ∵ ∠ B＝ 90176。 ∴ AB＝ BC（等角對(duì)等邊）． 【典型熱點(diǎn)考題】 例 1 如圖 7—15，等腰 △ABC的對(duì)稱軸與底邊 BC 相交于點(diǎn) D，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)AD是哪個(gè)角的平分線； (2)AD是哪條線段的垂直平分線； (3)有哪幾條相等的邊； (4)有哪幾對(duì)相等的角． 點(diǎn)悟：本題主要考查等腰三 角形的所有特征．所以應(yīng)該根據(jù)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來(lái)解答問(wèn)題． 解：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線 AD是它的對(duì)稱軸． (1)AD是頂角 ∠ BAC的平分線． (2)AD是線段 BC的垂直平分線． (3)AB＝ AC， BD＝ DC． (4)∠ BAD＝ ∠ CAD， ∠ ABC＝ ∠ ACB， ∠ ADB＝ ∠ ADC． 例 2 如圖 7—16，已知 PB⊥ AB， PC⊥ AC，且 PB＝ PC， D是 AP上一點(diǎn)．求證： ∠ BDP＝ ∠ CDP． 點(diǎn)悟：利用三角形全等證明兩個(gè)角相等最直觀，但因?yàn)閳D形具
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