北師大版數(shù)學(xué)七下《第七章生活中的軸對稱》典型例題-全文預(yù)覽
【正文】 ≌△ PDC（ SAS）， ∴ ∠ BDP＝∠ CDP． （圖形具有明顯的軸對稱性，可以通過利用軸對稱的性質(zhì)而不用三角形的全等） 注 利用角平分 線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明兩個三角形全等． 例 2 已知如下圖（ 1），在四邊形 ABCD 中， BC＞ BA， AD＝ CD， BD 平分∠ ABC．求證：∠ A＋∠ C＝ 180176?！?APC＋∠ PAC＝ 90176。． 證法二：如下圖（ 2），在 BC 上截取 BE＝ AB，連結(jié) DE，證明△ ABD≌△ EBD 可得． （ 2） 證法三：如下圖（ 3），延長 BA 到 E，使 BE＝ BC，連結(jié) ED，以下同證法二． （ 3） 注 本題考察一個角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等的定理來證明線段相等，關(guān)鍵是掌握遇到角的平分線的輔助線的不同的添加方法． 例 3 已知，如下圖， AD 為△ ABC 的中線，且 DE 平分∠ BDA 交 AB 于 E， DF 平分∠ ADC交 AC 于 F． 求證： BE＋ CF＞ EF． 證法一：在 DA 截取 DN＝ DB，連結(jié) NE、 NF，則 DN＝ DC，在△ BDE 和△ NDE 中， ??????????.DEDEN D EB D ENDBD， （遇到角平分線可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解題） ∴ △ BDE≌△ NDE（ SAS）， ∴ BE＝ NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）， 同理可證： CF＝ NF， 在△ EFN 中， EN＋ FN＞ EF（三角形兩邊之和大于第三邊）， ∴ BE＋ CFEF． 證法二：延長 ED 至 M，使 DM＝ ED，連結(jié) CM、 MF， 在△ BDE 和△ CDM 中， ??????????.DMDEC DMB D ECDBD， （從另一個角度作輔助線） ∴ △ BDE≌△ NDE（ SAS）， ∴ CM＝ BE（全等三角形對應(yīng)邊相等 ）， 又∵ ∠ BDE=∠ ADE，∠ ADF＝∠ CDF， 而∠ BDE＋∠ ADE＋∠ ADF＋∠ CDF＝ 180176。 在△ EDF 和△ MDF 中， ??????????.DFDFM D FE D FMDED， ∴ △ EDF≌△ MDF（ SAS）， ∴ EF＝ MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）， 在△ CMF 中， CF＋ CM EF， ∴ BE＋ CF EF． 注 本題綜合考察角平分線、中線的意義，關(guān)鍵是如何使題中的分散的條件集中． 例 4 已知，如下圖， P、 Q 是△ ABC 邊 BC 上的兩點(diǎn)，且 BP＝ PQ＝ QC＝ AP＝ AQ．求：∠BAC 的度數(shù)． 解：∵ AP＝ PQ＝ AQ（已知）， ∴ ∠ APQ＝∠ AQP＝∠ PAQ＝ 60176。同理∠ QAC＝ 30176。＝ 120176。 ∴ △ AGE≌△ AGF （ ASA）， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， 又∠ EAF＝∠ B＋∠ C，（請對比多種證法的優(yōu)劣） ∴ ∠ EAG＋∠ GAF＝∠ B＋∠ C， ∴ ∠ EAG＝∠ C，∴ AG∥ BC， ∵ AG⊥ EF， ∴ EF⊥ BC． 證法三：過 E 作 EH∥ BC 交 BA 的延長線于 H， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， ∴ ∠ H＝∠ B＝∠ C＝∠ AEH， ∵ ∠ AEF＝∠ AFE，∠ H＋∠ AFE＋∠ FEH＝ 180176。 ∴ EF⊥ EH，又 EH∥ BC， ∴ EF⊥ BC． 證法四：延長 EF 交 BC 于 K， ∵ AB＝ AC，∴ ∠ B＝∠ C， ∴ ∠ B＝ 21 （ 180176。－ ∠ BAC）＋ 21 （ 180176。即 ∠ FKB＝ 90176。 ∴ ∠ F
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