北師大版數(shù)學(xué)七下第七章生活中的軸對(duì)稱典型例題(存儲(chǔ)版)
【正文】 三角形對(duì)應(yīng)邊相等）， 同理可證： CF＝ NF， 在△ EFN 中， EN＋ FN＞ EF（三角形兩邊之和大于第三邊）， ∴ BE＋ CFEF． 證法二：延長(zhǎng) ED 至 M，使 DM＝ ED，連結(jié) CM、 MF， 在△ BDE 和△ CDM 中， ??????????.DMDEC DMB D ECDBD， （從另一個(gè)角度作輔助線） ∴ △ BDE≌△ NDE（ SAS）， ∴ CM＝ BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ）， 又∵ ∠ BDE=∠ ADE，∠ ADF＝∠ CDF， 而∠ BDE＋∠ ADE＋∠ ADF＋∠ CDF＝ 180176。 ∴ ∠ APB＝∠ APC， 在△ PDB 和△ PDC 中， ?????????? P D PDA P CA P BPCPB. ， ∴ △ PDB≌△ PDC（ SAS）， ∴ ∠ BDP＝∠ CDP． （圖形具有明顯的軸對(duì)稱性，可以通過利用軸對(duì)稱的性質(zhì)而不用三角形的全等） 注 利用角平分 線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明兩個(gè)三角形全等． 例 2 已知如下圖（ 1），在四邊形 ABCD 中， BC＞ BA， AD＝ CD， BD 平分∠ ABC．求證：∠ A＋∠ C＝ 180176。（等邊三角形三個(gè)角都是 60176。． 注 本題考察等腰三角形、等邊三角形的性 質(zhì)，關(guān)鍵是掌握求角的步驟：（ 1）利用等邊對(duì)等角得到相等的角；（ 2）利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和得各角之間的關(guān)系；（ 3）利用三角形內(nèi)角和定理列方程． 例 5 已知，如下圖，在△ ABC 中， AB＝ AC， E 是 AB 的中點(diǎn)，以點(diǎn) E 為圓心， EB 為半徑畫弧，交 BC 于點(diǎn) D，連結(jié) ED，并延長(zhǎng) ED 到點(diǎn) F，使 DF＝ DE，連結(jié) FC． 求證：∠ F＝∠ A． 證明：∵ AB＝ AC， ∴ ∠ B＝∠ ACB（等邊對(duì)等角）， ∵ EB＝ ED， ∴ ∠ B＝∠ EDB， ∴ ∠ ACB＝∠ EDB（等量代換）， ∴ ED∥ AC（同位角 相等，兩直線平行）， 在△ BDE 和△ AED 中， BE＝ AE=ED， 連結(jié) AD 可得，∠ EAD＝∠ EDA，∠ EBD＝∠ EDB， ∠ EDA＋∠ EDB＝ 90176。－ ∠ BAC）， ∵ ∠ AEF＝∠ AFE， ∴ ∠ AFE＝ 21 （ 180176。 ∴ EF⊥ BC． 注 本題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，建立 EF 與 BC 的聯(lián)系，仔細(xì)體會(huì)以上各種不同的添加輔助線的方法． 例 7 如下圖， AB＝ AC， DB＝ DC， P 是 AD 上一點(diǎn)． 求證：∠ ABP＝∠ ACP． 證明：連結(jié) BC， ∵ AB＝ AC（已知）， ∴ ∠ ABC＝∠ ACB（等邊對(duì)等角）， 又∵ 點(diǎn) A、 D 在線段 BC 的垂直平分線上 （與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上），而兩點(diǎn)確定一條直線， ∴ AD 就是線段 BC 的垂直平分線， ∴ PB＝ PC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）， ∴ ∠ PBC＝∠ PCB（等邊對(duì)等角），（線段垂直平分線的性質(zhì)） ∴ ∠ ABC－ ∠ PBC＝∠ ACB－∠ PCB（等式性質(zhì)）， 即∠ ABP＝∠ ACP． 注 本題若用三角形全等，至少需要證兩 次，現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡(jiǎn)潔． 例 8 如下圖， AB＝ AC， DE 垂直平分 AB 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若△ ABC 的周長(zhǎng)為 28，BC＝ 8，求△ BCE 的周長(zhǎng)． 解：∵ 等腰△ ABC 的周長(zhǎng)＝ 28， BC＝ 8， ∴ 2AC＋ BC＝ 28， ∴ AC＝ 10， （理由是什么？） ∵ DE 垂直平
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