【正文】 環(huán)傳遞函數(shù)為： 其開(kāi)環(huán)頻率特性，幅頻特性和相頻特性分別為： 由此可見(jiàn)， 延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化 。 1( ) ( ) sKG s G s e ???1( ) ( ) ,jKG j G j e ???? ??1( ) ( ) ,KG j G j???1( ) (KG j G j? ? ? ?? ? ? ?2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 例如，在圖 ，若 則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)頻率特性分別為： 其開(kāi)環(huán) Nyquist圖如圖 。 11( ) ,( 1 )Gs ss? ?1( ) ,( 1 )skG s ess????， 1()( 1 )jKG j ejj????????2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 由圖 ，當(dāng) ，即無(wú)延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，Nyquist軌跡的相位不超過(guò)－ 180度，只到第三象限，此二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。隨著值增加，相位也增加， Nyquist軌跡向左上方偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入第二和第一象限，當(dāng) 增加到使 Nyquist軌跡包圍點(diǎn)（－ 1,j0）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。 所以，由開(kāi)環(huán) Nyquist圖上可以明顯看出，串聯(lián)延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)定性是不利的， 雖然一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)放大系數(shù) K就不允許取很高的數(shù)值，同時(shí)，為了提高這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還應(yīng)盡可能地減小延時(shí)時(shí)間 。 0? ????2022/9/20 機(jī)械工程 167。 Bode穩(wěn)定判據(jù) Nyquist判據(jù) :利用開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖（ Nyquist圖）來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。 利用開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，即 Bode圖，來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時(shí)稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或 Bode判據(jù)。 它實(shí)質(zhì)上是 Nyquist判據(jù)的引申。 2022/9/20 機(jī)械工程 Nyquist圖與 Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 開(kāi)環(huán) Bode圖與開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖對(duì)應(yīng)關(guān)系 ： （ 1）極坐標(biāo)圖上的單位圓相當(dāng)于 Bode圖上的 0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。 （ 2）極坐標(biāo)圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于 Bode圖上的－ 180176。 線，即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。相位 ∠ GH 均為－ 180176。 。 由上對(duì)應(yīng)關(guān)系，極坐標(biāo)圖也可畫(huà)成 Bode圖，如圖 中 (a)可畫(huà)成 (c)， (b)可畫(huà)成 (d)。 2 0 l g ( ) ( ) 2 0 l g 1 0G j H j d B?? ??2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 為 Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，亦即輸入與輸出幅值相等時(shí)的頻率稱為 剪切頻率 或 幅值穿越頻率、幅值交界頻率 ； 為 Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，亦即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為 相位穿越頻率 或 相位交界頻率 。 由圖 (b)可見(jiàn)， 曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)（－ 1,j0），即曲線先在 時(shí)交于負(fù)實(shí)軸，后在 時(shí)才交于單位圓，亦即在 Bode圖即圖(d)中， 對(duì)數(shù)相頻特性先在 時(shí)交于－180176。 線，對(duì)數(shù)幅頻特性后 在時(shí)交于 0分貝線 。圖 (a)，圖 (c)的情況則相反。 c?g?( ) ( )G j H j??g?c?g?c?2022/9/20 機(jī)械工程 穿越的概念 如圖 (a)所示，在 a點(diǎn)，相頻特性由上而下穿過(guò)橫軸，這稱為 負(fù)穿越； 在 b點(diǎn)，相頻特性由下而上穿過(guò)橫軸，這稱為 正穿越 。 可以看出， 對(duì)數(shù)相頻特性正穿越一次，就相當(dāng)于Nyquist軌跡由上而下穿過(guò)負(fù)實(shí)軸一次，此時(shí)相位減?。ㄟ@里指絕對(duì)值減小）；反之，對(duì)數(shù)相頻特性負(fù)穿越一次，就相當(dāng)于 Nyquist軌跡由下而上穿過(guò)負(fù)實(shí)軸一次，此時(shí)相位增大 。 由圖 (a)可見(jiàn)，在 0～ 范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性正、負(fù)穿越次數(shù)之差為 0，那么在 P=0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，此系統(tǒng)實(shí)際為一條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 對(duì) II型系統(tǒng)（如 ），對(duì)其對(duì)數(shù)相頻特性一開(kāi)始就由－ 180176。 向下，則算負(fù)半次穿越；反之，若對(duì)數(shù)相頻特性一開(kāi)始就由－ 180176。 向上，則算正半次穿越，如圖 。 c?21 ( )s s a?2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 Bode判據(jù) 根據(jù) Nyquist判據(jù)和此種對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)數(shù)判據(jù)可表述如下： 在 P=0時(shí) ，若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性先效于橫軸，即 ，如圖 (c)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性比其對(duì)數(shù)相頻特性后交于橫軸，即 ，如圖 (d)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定?；驌Q言之：若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性達(dá)到 0分貝，即交于 時(shí)，其對(duì)數(shù)相頻特性還在－ 180176。 線以上，即相位還不足－ 180176。 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開(kāi)環(huán)相頻特性達(dá)到－ 180176。 時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻特性還在 0分貝線以上，即幅值不足 1，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 cg???cg???cg???c?2022/9/20 機(jī)械工程 一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即 P=0，故可按上述條件來(lái)判別其穩(wěn)定性。上述即為 P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 若考慮包括 P≠0 時(shí)的情況，對(duì)數(shù)判據(jù)則可全面地?cái)⑹鋈缦?—— 在 Bode圖上，當(dāng) 由 0變到 時(shí)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性在 0到 的頻率范圍（即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性不為負(fù)值的范圍）內(nèi)，正穿越和負(fù)穿越－ 180176。軸線的次數(shù)之差為 P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。 若開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)橫軸有多個(gè)剪切頻率，如圖 (b)所示，則取剪切頻率取大的 判別，因?yàn)槿粝到y(tǒng)是穩(wěn)定的，則用 判別，自然也就是穩(wěn)定的。 ? ??c?3c?12,cc??2022/9/20 機(jī)械工程 167。 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 從 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可推知：若 P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當(dāng) Nyquist軌跡離點(diǎn)（ 1,j0）越遠(yuǎn)，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡離點(diǎn)（ 1,j0）越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。這便是通常所說(shuō)的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，它通過(guò) 對(duì)點(diǎn)（ 1,j0）的靠近程度來(lái)表征，其定量表示為 相位裕度 和幅值裕度 Kg，如圖 所示。 ()KGj??2022/9/20 機(jī)械工程 相位裕度 在 為剪切頻率 （ ）時(shí)，相頻特性 ∠ GH 距－ 180176。 線的相位差值稱為相位裕度。圖 (c)所示的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性儲(chǔ)備，它可以在 的頻率下，允許相位再增加 才達(dá)到 的臨界穩(wěn)定條件，因此，相位裕度有時(shí)又叫做相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Bode圖橫軸以上，這時(shí)稱為正相位裕度，即有正的穩(wěn)定性儲(chǔ)備，如圖 (c)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Bode圖橫軸之下，這時(shí)稱為負(fù)相位裕度，即有負(fù)的穩(wěn)定性儲(chǔ)備，如圖 (d)所示。 ? c? 0c? ?c? ?gc?????2022/9/20 機(jī)械工程 相應(yīng)地，在極坐標(biāo)圖中，如圖 (a)、圖(b)所示， 即為 Nyquist軌跡與單位圓的交點(diǎn) A對(duì)負(fù)實(shí)軸的相位差值，它表示在幅值比為 1的頻率 時(shí)， ,（ ） 其中 的相位 一般為負(fù)值。 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在極坐標(biāo)圖負(fù)實(shí)軸以下，如圖 (a)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在極坐標(biāo)圖負(fù)實(shí)軸以上，如圖 (b)所示。 ?c?1 8 0 ( )c? ? ???()KGj? ()c????2022/9/20 機(jī)械工程 幅值裕度 當(dāng) 為相位交界頻率 （ ）時(shí)，開(kāi)環(huán)幅頻特性 的倒數(shù)，稱為系統(tǒng)的幅值裕度，即： 在 Bode圖上，幅值裕度改以分貝表示為： 此時(shí)，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)， Kg(dB)必在 0分貝線以下，Kg(dB) ＞ 0，此時(shí)稱為正幅值裕度，如圖 (c)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)， Kg(dB)必在 0分貝線以上，Kg(dB) ＜ 0，此時(shí)稱為負(fù)幅值裕度，如圖(d)。 ? g? 0g? ?( ) ( )ggG j H j??1( ) ( )g ggKG j H j???12 0 l g 2 0 l g 2 0 l g ( ) ( ) ( )( ) ( )g g g gggK G j H j K d BG j H j ????? ? ?記＝2022/9/20 機(jī)械工程 上述表明，在圖 (c)，對(duì)數(shù)幅頻特性還可以上移 Kg(dB)分貝，才使系統(tǒng)滿足 的臨界穩(wěn)定條件，亦滿足即只有增加系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益 Kg倍，才剛剛臨界穩(wěn)定條件。因此幅值裕度有時(shí)又稱為增益裕度。 在極坐標(biāo)圖上，由于： 所以， Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)至原點(diǎn)的距離為 1/Kg，它代表在 頻率下開(kāi)環(huán)頻率特性的模。顯然，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)， 1/Kg＜ 1，如圖 (a)所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 1/Kg＞ 1，如圖 (b)所示。 gc??＝1( ) ( )gggG j H jK?? ?g?2022/9/20 機(jī)械工程 綜上所述，對(duì)于開(kāi)環(huán)為 P=0的系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， 具有正幅值裕度與正相位裕度時(shí)，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 具有勻幅值裕度及負(fù)相位裕度時(shí)，其閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 由上可見(jiàn)，利用 Nyquist圖或 Bode圖所計(jì)算出的 ，Kg相同。 從工程控制實(shí)踐中可知，為使上述系統(tǒng)有滿意有穩(wěn)定性儲(chǔ)備，一般希望： Kg(dB) ＞ 6dB，即 Kg＞ 2。 應(yīng)當(dāng)著重指出，為了確定上述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)考慮相位裕度和幅值裕度兩個(gè)指標(biāo)，只應(yīng)用其中一個(gè)指標(biāo)，不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。 ( ) ( )ggG j H j??( ) ( )ggG j H j???3 0 ~ 6 0? ? ，2022/9/20 機(jī)械工程 ? 作業(yè) p171 。、 3。