【正文】 環(huán)傳遞函數為： 其開環(huán)頻率特性，幅頻特性和相頻特性分別為： 由此可見， 延時環(huán)節(jié)不改變原系統(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化 。 1( ) ( ) sKG s G s e ???1( ) ( ) ,jKG j G j e ???? ??1( ) ( ) ,KG j G j???1( ) (KG j G j? ? ? ?? ? ? ?2022/9/20 機械工程 2022/9/20 機械工程 例如，在圖 ，若 則開環(huán)傳遞函數和開環(huán)頻率特性分別為： 其開環(huán) Nyquist圖如圖 。 11( ) ,( 1 )Gs ss? ?1( ) ,( 1 )skG s ess????， 1()( 1 )jKG j ejj????????2022/9/20 機械工程 2022/9/20 機械工程 由圖 ，當 ，即無延時環(huán)節(jié)時，Nyquist軌跡的相位不超過－ 180度，只到第三象限，此二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。隨著值增加，相位也增加， Nyquist軌跡向左上方偏轉，進入第二和第一象限，當 增加到使 Nyquist軌跡包圍點（－ 1,j0）時，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。 所以，由開環(huán) Nyquist圖上可以明顯看出，串聯(lián)延時環(huán)節(jié)對穩(wěn)定性是不利的， 雖然一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)，其開環(huán)放大系數 K就不允許取很高的數值，同時，為了提高這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還應盡可能地減小延時時間 。 0? ????2022/9/20 機械工程 167。 Bode穩(wěn)定判據 Nyquist判據 :利用開環(huán)頻率特性的極坐標圖（ Nyquist圖）來判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。 利用開環(huán)對數坐標圖，即 Bode圖，來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時稱為對數頻率特性判據，簡稱對數判據或 Bode判據。 它實質上是 Nyquist判據的引申。 2022/9/20 機械工程 Nyquist圖與 Bode圖的對應關系 開環(huán) Bode圖與開環(huán)極坐標圖對應關系 ： （ 1）極坐標圖上的單位圓相當于 Bode圖上的 0分貝線，即對數幅頻特性圖的橫軸。 （ 2）極坐標圖上的負實軸相當于 Bode圖上的－ 180176。 線，即對數相頻特性圖的橫軸。相位 ∠ GH 均為－ 180176。 。 由上對應關系，極坐標圖也可畫成 Bode圖，如圖 中 (a)可畫成 (c)， (b)可畫成 (d)。 2 0 l g ( ) ( ) 2 0 l g 1 0G j H j d B?? ??2022/9/20 機械工程 2022/9/20 機械工程 為 Nyquist軌跡與單位圓交點的頻率，即對數幅頻特性曲線與橫軸交點的頻率，亦即輸入與輸出幅值相等時的頻率稱為 剪切頻率 或 幅值穿越頻率、幅值交界頻率 ； 為 Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率，亦即對數相頻特性曲線與橫軸交點的頻率，稱為 相位穿越頻率 或 相位交界頻率 。 由圖 (b)可見， 曲線順時針包圍點（－ 1,j0），即曲線先在 時交于負實軸，后在 時才交于單位圓，亦即在 Bode圖即圖(d)中， 對數相頻特性先在 時交于－180176。 線，對數幅頻特性后 在時交于 0分貝線 。圖 (a)，圖 (c)的情況則相反。 c?g?( ) ( )G j H j??g?c?g?c?2022/9/20 機械工程 穿越的概念 如圖 (a)所示，在 a點，相頻特性由上而下穿過橫軸，這稱為 負穿越； 在 b點，相頻特性由下而上穿過橫軸，這稱為 正穿越 。 可以看出， 對數相頻特性正穿越一次，就相當于Nyquist軌跡由上而下穿過負實軸一次，此時相位減?。ㄟ@里指絕對值減?。?；反之，對數相頻特性負穿越一次，就相當于 Nyquist軌跡由下而上穿過負實軸一次，此時相位增大 。 由圖 (a)可見，在 0～ 范圍內，對數相頻特性正、負穿越次數之差為 0，那么在 P=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定，此系統(tǒng)實際為一條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 對 II型系統(tǒng)（如 ），對其對數相頻特性一開始就由－ 180176。 向下，則算負半次穿越；反之，若對數相頻特性一開始就由－ 180176。 向上，則算正半次穿越，如圖 。 c?21 ( )s s a?2022/9/20 機械工程 2022/9/20 機械工程 2022/9/20 機械工程 Bode判據 根據 Nyquist判據和此種對應關系，對數判據可表述如下： 在 P=0時 ，若開環(huán)對數幅頻特性比其對數相頻特性先效于橫軸，即 ，如圖 (c)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)對數幅頻特性比其對數相頻特性后交于橫軸，即 ，如圖 (d)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定?；驌Q言之：若開環(huán)對數幅頻特性達到 0分貝，即交于 時，其對數相頻特性還在－ 180176。 線以上，即相位還不足－ 180176。 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)相頻特性達到－ 180176。 時，其對數幅頻特性還在 0分貝線以上，即幅值不足 1，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 cg???cg???cg???c?2022/9/20 機械工程 一般系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即 P=0，故可按上述條件來判別其穩(wěn)定性。上述即為 P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。 若考慮包括 P≠0 時的情況，對數判據則可全面地敘述如下 —— 在 Bode圖上，當 由 0變到 時，開環(huán)對數相頻特性在 0到 的頻率范圍（即開環(huán)對數幅頻特性不為負值的范圍）內，正穿越和負穿越－ 180176。軸線的次數之差為 P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。 若開環(huán)對數幅頻特性對橫軸有多個剪切頻率，如圖 (b)所示，則取剪切頻率取大的 判別，因為若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則用 判別，自然也就是穩(wěn)定的。 ? ??c?3c?12,cc??2022/9/20 機械工程 167。 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 從 Nyquist穩(wěn)定判據可推知：若 P=0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當 Nyquist軌跡離點（ 1,j0）越遠，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；開環(huán) Nyquist軌跡離點（ 1,j0）越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。這便是通常所說的系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，它通過 對點（ 1,j0）的靠近程度來表征，其定量表示為 相位裕度 和幅值裕度 Kg，如圖 所示。 ()KGj??2022/9/20 機械工程 相位裕度 在 為剪切頻率 （ ）時，相頻特性 ∠ GH 距－ 180176。 線的相位差值稱為相位裕度。圖 (c)所示的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當的穩(wěn)定性儲備，它可以在 的頻率下，允許相位再增加 才達到 的臨界穩(wěn)定條件，因此，相位裕度有時又叫做相位穩(wěn)定性儲備。 對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Bode圖橫軸以上，這時稱為正相位裕度，即有正的穩(wěn)定性儲備，如圖 (c)所示；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在 Bode圖橫軸之下，這時稱為負相位裕度，即有負的穩(wěn)定性儲備，如圖 (d)所示。 ? c? 0c? ?c? ?gc?????2022/9/20 機械工程 相應地，在極坐標圖中，如圖 (a)、圖(b)所示， 即為 Nyquist軌跡與單位圓的交點 A對負實軸的相位差值，它表示在幅值比為 1的頻率 時， ,（ ） 其中 的相位 一般為負值。 對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在極坐標圖負實軸以下，如圖 (a)所示；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 必在極坐標圖負實軸以上，如圖 (b)所示。 ?c?1 8 0 ( )c? ? ???()KGj? ()c????2022/9/20 機械工程 幅值裕度 當 為相位交界頻率 （ ）時，開環(huán)幅頻特性 的倒數，稱為系統(tǒng)的幅值裕度，即： 在 Bode圖上，幅值裕度改以分貝表示為： 此時，對于穩(wěn)定系統(tǒng)， Kg(dB)必在 0分貝線以下，Kg(dB) ＞ 0，此時稱為正幅值裕度，如圖 (c)所示；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， Kg(dB)必在 0分貝線以上，Kg(dB) ＜ 0，此時稱為負幅值裕度，如圖(d)。 ? g? 0g? ?( ) ( )ggG j H j??1( ) ( )g ggKG j H j???12 0 l g 2 0 l g 2 0 l g ( ) ( ) ( )( ) ( )g g g gggK G j H j K d BG j H j ????? ? ?記＝2022/9/20 機械工程 上述表明，在圖 (c)，對數幅頻特性還可以上移 Kg(dB)分貝，才使系統(tǒng)滿足 的臨界穩(wěn)定條件，亦滿足即只有增加系統(tǒng)的開環(huán)增益 Kg倍，才剛剛臨界穩(wěn)定條件。因此幅值裕度有時又稱為增益裕度。 在極坐標圖上，由于： 所以， Nyquist軌跡與負實軸的交點至原點的距離為 1/Kg，它代表在 頻率下開環(huán)頻率特性的模。顯然，對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 1/Kg＜ 1，如圖 (a)所示；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 1/Kg＞ 1，如圖 (b)所示。 gc??＝1( ) ( )gggG j H jK?? ?g?2022/9/20 機械工程 綜上所述，對于開環(huán)為 P=0的系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)來說， 具有正幅值裕度與正相位裕度時，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 具有勻幅值裕度及負相位裕度時，其閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 由上可見，利用 Nyquist圖或 Bode圖所計算出的 ，Kg相同。 從工程控制實踐中可知，為使上述系統(tǒng)有滿意有穩(wěn)定性儲備，一般希望： Kg(dB) ＞ 6dB，即 Kg＞ 2。 應當著重指出，為了確定上述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時考慮相位裕度和幅值裕度兩個指標，只應用其中一個指標，不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 ( ) ( )ggG j H j??( ) ( )ggG j H j???3 0 ~ 6 0? ? ，2022/9/20 機械工程 ? 作業(yè) p171 。、 3。