【正文】 ]平面上（除有限個(gè) 奇點(diǎn) 外）為 單值的連續(xù)正則函數(shù)， 并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn) s映射到 [F(s)]平面上為點(diǎn)F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量 F(s)。 由于 F(s)溝通了 GK(s)與 GB(s)之間的關(guān)系，故可通過 F(s)，利用 GK(s)來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 Nyquist判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備 —— 相對穩(wěn)定性 ，指出進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑， 若系統(tǒng)不穩(wěn)定， Nyquist判據(jù)還能如 Routh判據(jù)那樣，指出 系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即具有正實(shí)部的特征根的個(gè)數(shù)； ()kGj? ( ) ( )G j H j??()kGj?2022/9/20 機(jī)械工程 函數(shù) F（ s）與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系 如圖 ，其傳遞函數(shù)為： 開環(huán)函數(shù)為： 特征方程為： 令 它可以寫成一般的形式為： ()()1 ( ) ( )BGsGsG s H s??( ) ( ) ( )KG s G s H s?1 ( ) ( ) 0G s H s??( ) 1 ( ) ( )F s G s H s??（ ） 11 1 0 1 2 39。 Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù) 由 H. Nyquist于 1932年提出的穩(wěn)定性判據(jù)，在1940年以后得到了廣泛的應(yīng)用 . 判據(jù)所提出的判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件仍然是以特征方程 的根全部具有負(fù)實(shí)部為基礎(chǔ)的，但是它將函數(shù) 與開環(huán)頻率特性 即 聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性由復(fù)域引入頻域來分析，具體地說， 它是通過 的 Nyquistl圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的 。 解輔助方程 得 即得出兩組數(shù)值相同、符號相異的根。 2022/9/20 機(jī)械工程 例 設(shè)系統(tǒng)特征方程為 試用 Routh表判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2022/9/20 機(jī)械工程 （ 2）如果當(dāng) Routh表的 任意一行中的所有元 均為零時(shí)，系統(tǒng)的特征根中，或存在 兩個(gè)符號相異 、絕對值相同的 實(shí)根 ；或存在 一對共軛純虛根 ；或上述兩種類型的根同時(shí)存在；或存在實(shí)部符號相異、虛部數(shù)值相同的兩對 共軛復(fù)數(shù)根 。 ia1 1 00 , 0 , . . . . . . , 0 , 0 .nna a a a?? ? ? ?（ ） 0ia ? 12, , , ns s s2022/9/20 機(jī)械工程 （ 1）將系統(tǒng)的特征方程式（ ）的系數(shù)按下 列形式排成兩行： （ 2）列 Routh計(jì)算表：如以六階特征方程為例，設(shè)： 則有： 2 4 6n n n na a a a??? 1 3 5 7n n n na a a a? ? ? ?6 5 4 3 26 5 4 3 2 1 0( ) 0sD s a s a s a s a s a s a a? ? ? ? ? ? ? ?2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 高于 6階時(shí) (一般不會 )，見課本上通式 。( 2 1 ) 。 其中最重要的一個(gè)判據(jù)就是 1884年由 Routh判據(jù) 。 初始偏差大時(shí)，就不能用來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 比較漸近穩(wěn)定性與 Л я п у н о в 意義下的穩(wěn)定性可知，前者比后者對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求高，系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的則一定是Л я п у н о в 意義下穩(wěn)定的，反之則不盡然。 但對于 非線性系統(tǒng) 而言，這種響應(yīng)隨著時(shí)間的推移不僅可能有上述三種情況，而且還可能 趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩 ，同時(shí)還可能由初態(tài)不同 ，這種響應(yīng)隨著時(shí)間推移的結(jié)果也不同。 應(yīng)當(dāng)指出，不穩(wěn)定區(qū) 不包括虛抽所通過的坐標(biāo)原點(diǎn) 。 2022/9/20 機(jī)械工程 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部；反之，若特征根中只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。再由此初態(tài)出發(fā)，可得到一個(gè)輸出，即單位脈沖響應(yīng) 的形式與零輸入響應(yīng)的形式相同， 顯然， 則系統(tǒng)穩(wěn)定； 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 ? ?11 11()( ) ( ) e x p ( )()niiiNsX t L X s L A s tDs???????? ? ????? ?（ ） 1() , ( ) ( )()issiN s dA D s D sdsDs?????isli m ( ) 0ot xt?? ?l i m ( )ot xt?? ??2022/9/20 機(jī)械工程 上述結(jié)論對于任何初始狀態(tài)（ 只要不使系統(tǒng)超出其 線性 工作范圍 ）都是成立的， 而且當(dāng)系統(tǒng)的特征根具有相同值時(shí)，也是成立的。nnnnD p a p a p a p a??? ? ? ?11 1 0( ) ,mmmmM p b p b p b p b??? ? ? ?( ) ( )( ) ( ) ,( ) ( )iM s N sX s X sD s D s? ?? （ ） () ()()Ms GsDs ?2022/9/20 機(jī)械工程 是與初始條件 ［輸出 及其各階導(dǎo)數(shù) 在輸入作用前 時(shí)刻的值，即系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)］有關(guān)的多項(xiàng)式。 2022/9/20 機(jī)械工程 穩(wěn)定的定義和條件 若系統(tǒng)在初始狀態(tài)下（不論是無輸入時(shí)的初態(tài)，還是輸入引起的初態(tài)，還是兩者之和）的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移， 逐漸衰減并趨向于零（即回到平衡位置），則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定的 ； 反之，若在初始狀態(tài)影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 隨時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)），則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。 若反饋的結(jié)果，削弱了 的作用（即負(fù)反饋）， 則使 越來越小，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定； 若反饋的結(jié)果，加強(qiáng)了 的作用（即正反饋） ，則使 越來越大， 此時(shí)，此閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，則視 是收斂還是發(fā)散而定。 如上例，系統(tǒng)在輸入撤消后，從偏離平衡位置所處的初始狀態(tài)出發(fā)，因系統(tǒng)本身的固有特性而產(chǎn)生振動(dòng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與輸入無關(guān)（非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與輸入有關(guān)的）。 ix2022/9/20 機(jī)械工程 但活塞因慣性 繼續(xù)左移 ，使油路又反向 ??這樣，閥芯在原位不動(dòng)的情況下， 活塞與閥體相對閥芯反復(fù)振蕩 。 12,qqix 0x2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 閥芯受外力 右移 ，即輸入位移 后，控制口 4打開，控制口 3， 1關(guān)閉，壓力油進(jìn)入左缸，右缸接通回油，活塞向右移動(dòng)。 Routh與 Hurwitz判斷； Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，即如何通過系統(tǒng)的 開環(huán)頻率特性的 Nyquist圖 來判斷相應(yīng)的 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。2022/9/20 機(jī)械工程 第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)首要條件 :系統(tǒng)穩(wěn)定 。 。 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念 系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生 如圖 ，從油源來的壓力為 Ps的壓力油，經(jīng)伺服閥和兩條軟管以流量 進(jìn)入或流出油缸，閥芯相對于閥體獲得輸入位移 后，活塞輸出位移 ，此輸出再經(jīng)活塞與閥體的剛性聯(lián)系，即經(jīng)反饋聯(lián)系 B反饋到閥體上，從而改變了閥芯與閥體的相對位移量，這樣就組成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，它保證活塞跟隨閥芯的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。因而使控制口 1， 3打開， 2， 4關(guān)閉，壓力油反過來進(jìn)入右缸，左缸接能回油，這使活塞反向（ 向左 ）移動(dòng)，并帶動(dòng)閥體左移，直至閥體與閥芯回復(fù)到原來的平衡位置。 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象值得注意幾點(diǎn)： 首先，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無關(guān)。 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 當(dāng)輸入 撤消后，此閉環(huán)系統(tǒng)就以初始偏差 作為進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)的信號，產(chǎn)生輸出 ，而反饋聯(lián)系不斷將輸出 反饋回來，從輸入 中不斷減去（或加上） 。 至于用激振或加外力方法施以強(qiáng)迫振動(dòng)或運(yùn)動(dòng)，因而造成系統(tǒng)共振（或稱諧振）或偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)，這不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。 1 1 10( ) ( )nnnna p a p a p a x t? ? ?? ? ?10( ) ( ),mmib p b p b x t? ? ? ? ,nm?（ ） ,dp dt?11 1 0( ) 。 反之，若特征根中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部，則零輸入響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散，即 ，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 2022/9/20 機(jī)械工程 方法（ 2）： 若對線性系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時(shí)輸入單位脈沖函數(shù) （這實(shí)際上是瞬間干擾），使系統(tǒng)具有一個(gè)初態(tài)。() （ ） 2022/9/20 機(jī)械工程 無論是 無輸入時(shí)的初態(tài) 或 輸入所引起的初態(tài) ，或 只是輸入所引起的初態(tài) ，則系統(tǒng)是否穩(wěn)定應(yīng)由此時(shí)的 過渡過程隨著時(shí)間的推移是否收斂至一個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來決定 ，而這是與本小節(jié)開始時(shí)講的系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義是一致的； 過渡過程是否收斂也僅僅取決于系統(tǒng)的全部特征根是否都具有負(fù)實(shí)部 。 從工程控制的實(shí)際情況看，一般認(rèn)為臨界實(shí)際上往往屬于不穩(wěn)定 。從而定義了系統(tǒng)是 穩(wěn)定的；不穩(wěn)的；臨界穩(wěn)定 的。 ()()( 0),( ) ( 0 ) ,kkxx t t??????????? ? ? ? ??的 情 況 下 滿 足 輸 出 為 () 0 ,1 , 2 , ,k ?? ?2022/9/20 機(jī)械工程 漸近穩(wěn)定性 漸近穩(wěn)定性 就是前面對線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性，它要求由 初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零 ，一般所講的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是漸近穩(wěn)