【正文】 2022/9/20 機(jī)械工程 第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)首要條件 :系統(tǒng)穩(wěn)定 。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性是經(jīng)典控制理論的重要組成部分，經(jīng)典控制理論對(duì)于判定一個(gè)定常線性系統(tǒng)是否穩(wěn)定提供了多種方法。 著重介紹幾種定常線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)及其使用，以及提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 。 Routh與 Hurwitz判斷； Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，即如何通過系統(tǒng)的 開環(huán)頻率特性的 Nyquist圖 來判斷相應(yīng)的 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 Bode判據(jù)，進(jìn)而討論系統(tǒng) 相對(duì)穩(wěn)定性 的問題。 2022/9/20 機(jī)械工程 167。 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念 系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生 如圖 ，從油源來的壓力為 Ps的壓力油，經(jīng)伺服閥和兩條軟管以流量 進(jìn)入或流出油缸，閥芯相對(duì)于閥體獲得輸入位移 后，活塞輸出位移 ，此輸出再經(jīng)活塞與閥體的剛性聯(lián)系，即經(jīng)反饋聯(lián)系 B反饋到閥體上，從而改變了閥芯與閥體的相對(duì)位移量，這樣就組成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，它保證活塞跟隨閥芯的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。 12,qqix 0x2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 閥芯受外力 右移 ，即輸入位移 后，控制口 4打開，控制口 3， 1關(guān)閉，壓力油進(jìn)入左缸，右缸接通回油，活塞向右移動(dòng)。當(dāng)外力去掉后，閥芯停止運(yùn)動(dòng) ,活塞滯后于閥芯 ,繼續(xù)右移 ,直至控制口 2關(guān)閉，回到原來的平衡位置。 因移動(dòng)的活塞有慣性，在伺服閥的平衡位置，活塞仍不能停止， 繼續(xù)右移 。因而使控制口 1， 3打開， 2， 4關(guān)閉，壓力油反過來進(jìn)入右缸，左缸接能回油，這使活塞反向（ 向左 ）移動(dòng)，并帶動(dòng)閥體左移，直至閥體與閥芯回復(fù)到原來的平衡位置。 ix2022/9/20 機(jī)械工程 但活塞因慣性 繼續(xù)左移 ，使油路又反向 ??這樣，閥芯在原位不動(dòng)的情況下， 活塞與閥體相對(duì)閥芯反復(fù)振蕩 。由于所選擇的系統(tǒng)各參數(shù)（如質(zhì)量、阻尼和彈性等）不同，當(dāng)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)， 這種振蕩可能是衰減的（減幅的），也可能是發(fā)散的（增幅的）或等幅的， 如圖 （ a）、（ b）、（ c）所示。當(dāng)這種自由振蕩是 增幅振蕩 時(shí)，就稱系統(tǒng)是 不穩(wěn)定 的。 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象值得注意幾點(diǎn)： 首先，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無關(guān)。 如上例，系統(tǒng)在輸入撤消后，從偏離平衡位置所處的初始狀態(tài)出發(fā)，因系統(tǒng)本身的固有特性而產(chǎn)生振動(dòng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與輸入無關(guān)（非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與輸入有關(guān)的）。 其次，系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔谩?如原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么加入反饋后就形成為閉環(huán)系統(tǒng)，可能產(chǎn)生不穩(wěn)定；如原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，加入反饋后就形成為閉環(huán)系統(tǒng)，更可能不穩(wěn)定。 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 當(dāng)輸入 撤消后，此閉環(huán)系統(tǒng)就以初始偏差 作為進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)的信號(hào)，產(chǎn)生輸出 ，而反饋聯(lián)系不斷將輸出 反饋回來，從輸入 中不斷減去（或加上） 。 若反饋的結(jié)果，削弱了 的作用（即負(fù)反饋）， 則使 越來越小，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定； 若反饋的結(jié)果，加強(qiáng)了 的作用（即正反饋） ，則使 越來越大， 此時(shí)，此閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，則視 是收斂還是發(fā)散而定。 ()iXs()Es ()Xs?()Xs? ()iXs()Xs?()Es()Xs?()Es()Xs?()Xs?2022/9/20 機(jī)械工程 第三，控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性。 即討論 輸入為零，系統(tǒng)僅存在有初始狀態(tài)不為零時(shí)的穩(wěn)定性，即討論系統(tǒng)自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的； 或者：討論 系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是收斂的還是發(fā)散的 。 至于用激振或加外力方法施以強(qiáng)迫振動(dòng)或運(yùn)動(dòng)，因而造成系統(tǒng)共振（或稱諧振）或偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)，這不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。 2022/9/20 機(jī)械工程 穩(wěn)定的定義和條件 若系統(tǒng)在初始狀態(tài)下（不論是無輸入時(shí)的初態(tài)，還是輸入引起的初態(tài)，還是兩者之和）的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移， 逐漸衰減并趨向于零（即回到平衡位置），則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定的 ； 反之，若在初始狀態(tài)影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng) 隨時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來越遠(yuǎn)），則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。 根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用下述兩種方法，分別求得 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定性條件 。 2022/9/20 機(jī)械工程 方法（ 1）：設(shè)定常線性系統(tǒng)的微分方程為： 式中， 若記 并對(duì)式（ ）作 Laplace變換，得 式中 為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 1 1 10( ) ( )nnnna p a p a p a x t? ? ?? ? ?10( ) ( ),mmib p b p b x t? ? ? ? ,nm?（ ） ,dp dt?11 1 0( ) 。nnnnD p a p a p a p a??? ? ? ?11 1 0( ) ,mmmmM p b p b p b p b??? ? ? ?( ) ( )( ) ( ) ,( ) ( )iM s N sX s X sD s D s? ?? （ ） () ()()Ms GsDs ?2022/9/20 機(jī)械工程 是與初始條件 ［輸出 及其各階導(dǎo)數(shù) 在輸入作用前 時(shí)刻的值，即系統(tǒng)在輸入作用前的初始狀態(tài)］有關(guān)的多項(xiàng)式。 研究初始狀態(tài) 影響下系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)時(shí)，可在式（ ）中取 得到這一時(shí)間響應(yīng)（即零輸入的響應(yīng)）： 若 為系統(tǒng)特征方程 的根（或稱系統(tǒng)的特征根，亦即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)），當(dāng) （ ）各不相同時(shí)，有： ()Ns()Ns ()(0 )kx ?? ()xt?()()kxt?0t?( ) 0iXs ?()()()NsXsDs? ?( ) 0Ds ?1 2 。in? ， ， ，isis2022/9/20 機(jī)械工程 式中， 由上可知，若 系統(tǒng)所有特征根 的實(shí)部均為負(fù)值，即Re[si]0,則需輸入響應(yīng)最終將衰減到零，即 ，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的 。 反之，若特征根中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部，則零輸入響應(yīng)隨時(shí)間的推移而發(fā)散，即 ，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 ? ?11 11()( ) ( ) e x p ( )()niiiNsX t L X s L A s tDs???????? ? ????? ?（ ） 1() , ( ) ( )()issiN s dA D s D sdsDs?????isli m ( ) 0ot xt?? ?l i m ( )ot xt?? ??2022/9/20 機(jī)械工程 上述結(jié)論對(duì)于任何初始狀態(tài)（ 只要不使系統(tǒng)超出其 線性 工作范圍 ）都是成立的， 而且當(dāng)系統(tǒng)的特征根具有相同值時(shí)，也是成立的。 式（ ）右端各項(xiàng)系數(shù)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響， 相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù) G（ s）的各零點(diǎn)的穩(wěn)定性沒有影響。 這些參數(shù)反映系統(tǒng)與外界作用的關(guān)系，反映了外界輸入作用于同一系統(tǒng)的不同處的特性，不影響 系統(tǒng)穩(wěn)定性 這個(gè)系統(tǒng)本身的固有特性。 2022/9/20 機(jī)械工程 方法（ 2）： 若對(duì)線性系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時(shí)輸入單位脈沖函數(shù) （這實(shí)際上是瞬間干擾），使系統(tǒng)具有一個(gè)初態(tài)。再由此初態(tài)出發(fā)，可得到一個(gè)輸出，即單位脈沖響應(yīng) 的形式與零輸入響應(yīng)的形式相同， 顯然， 則系統(tǒng)穩(wěn)定； 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 ()t?( ) ( )tt??。( ) 0 ,tl im t??? ?若 ( ) ,tl im t??? ??若2022/9/20 機(jī)械工程 因?yàn)? 因此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 這一結(jié)論與第三章有關(guān)結(jié)論是一致的，可見只有當(dāng) 系統(tǒng)的全部特征根 都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，才有 ()[ ( ) ( ) ( ) ] ,()MsL t W s G sDs? ? ? ?1 1 ()( ) [ ( ) ] [ ] ,()Mst L L s LDs?? ???211()( ) e x p ( ) e x p ( ) .()inni i iii ssMst s t A s tDs? ?? ?????( 1 , 2 , , )is i n?lim ( ) 0t t??? ? 。() （ ） 2022/9/20 機(jī)械工程 無論是 無輸入時(shí)的初態(tài) 或 輸入所引起的初態(tài) ，或 只是輸入所引起的初態(tài) ，則系統(tǒng)是否穩(wěn)定應(yīng)由此時(shí)的 過渡過程隨著時(shí)間的推移是否收斂至一個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來決定 ，而這是與本小節(jié)開始時(shí)講的系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義是一致的； 過渡過程是否收斂也僅僅取決于系統(tǒng)的全部特征根是否都具有負(fù)實(shí)部 。 2022/9/20 機(jī)械工程 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部；反之，若特征根中只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。 也就是說，若系統(tǒng)傳遞函數(shù) 的全部極點(diǎn)均位于 [s]平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，若有一個(gè)或一個(gè)以上的極點(diǎn)位于 [s]平面的右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若有部分極點(diǎn)位于虛軸上，而其余的極點(diǎn)均在 [s]平面的左半平面，則系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定，即 趨于等幅諧波振蕩。 ()Gs( ) ( )x t t?? 或2022/9/20 機(jī)械工程 由于對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的估算或測(cè)量可能不夠準(zhǔn)確，而且系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，參數(shù)值也可能有變動(dòng)，因此原來處于虛軸上的極點(diǎn)實(shí)際上可能變動(dòng)到 [s]平面的右半面，致使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 從工程控制的實(shí)際情況看