【正文】 ；∴∠AEB=∠DEC=45176。；∴∠AED=90176。；四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90176。，故四邊形PFEH是矩形；（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?；理由如下：由?）可得∠BAE=∠CDE=45176。；∴∠FAP=∠HDP=45176。；又∵∠AFP=∠PHD=90176。，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．點(diǎn)評：此題主要考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形的判定．熟練掌握各特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．24．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH是矩形．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)四邊形ABCD是矩形得知AO=BO=CO=DO，再根據(jù)AE=BF=CG=DH，推出OE=OF=OG=OH，證出四邊形EFGH為平行四邊形，再根據(jù)OE=OF=OG=OH得出EG=FH．利用對角線相等且互相平分證出四邊形EFGH是矩形．解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD；AO=BO=CO=DO，（2分）∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形是平行四邊形，（4分）∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形．（7分）點(diǎn)評：此題考查了矩形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形ABCD的對角線相等且互相平分，再根據(jù)其逆定理判斷四邊形EFGH是矩形．25．如圖所示，BD，BE分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABP的平分線．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D為垂足，求證：四邊形AEBD是矩形．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平角定義，得到∠EBD=90176。，再進(jìn)行判斷并證明．解答：證明：∵BD，BE分別是∠ABC，∠ABP的平分線，∴∠ABD+∠ABE=（∠ABC+∠ABP）=90176。．即∠EBD=90176。．又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=∠ADB=90176。，∴四邊形AEBD是矩形．點(diǎn)評：解答此題需要將矩形的性質(zhì)和判定聯(lián)合應(yīng)用．26．如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG．（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請說明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)0所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：（1）可用三角形中位線定理求解，易知DG、EF分別是△ABC和△BOC的中位線，那么DG、EF都平行且相等于BC，即DG與EF平行且相等，由此可證得四邊形DEFG是平行四邊形．（2）連接OA，則DE∥OA∥GF；若四邊形DEFG是矩形，則DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判斷出O點(diǎn)所處的位置．解答：（1）答：四邊形DEFG是平行四邊形．理由如下：證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DG是△ABC的中位線；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可證：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四邊形DEFG是平行四邊形；（2）答：O在BC邊的高上；證明：連接OA；同（1）可證：DE∥OA∥FG；∵四邊形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O點(diǎn)在BC邊的高上且A和垂足除外．點(diǎn)評：本題考查的是平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的應(yīng)用．27．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm、BC=30cm，在距邊12cm、距C點(diǎn)20cm的點(diǎn)O處有一釘子．動P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C方向以5cm/s的速度運(yùn)動，到點(diǎn)C停止運(yùn)動；點(diǎn)Q沿A→D方向以3cm/s的速度運(yùn)動，到點(diǎn)D停止運(yùn)動．P、Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的橡皮筋連接，設(shè)兩動點(diǎn)運(yùn)動t（s）后橡皮筋掃過的面積為y（cm2）．（1）當(dāng)t=4時(shí)，求y的值；（2）問：t為何值時(shí)，橡皮筋剛好接觸釘子（即P、O、Q三點(diǎn)在同一直線上）；（3）當(dāng)4＜t≤10時(shí)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理；梯形；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：動點(diǎn)型。分析：（1）當(dāng)t=4時(shí)，根據(jù)運(yùn)動速度可知道此時(shí)掃過的面積是三角形，從而求出解．（2）橡皮筋剛好接觸釘子即P、O、Q三點(diǎn)在同一直線上，根據(jù)在距邊12cm、距C點(diǎn)20cm的點(diǎn)O處有一釘子，用勾股定理可求出解．（3）分兩種情況，以P，O，Q在一條直線上為分界線，根據(jù)得到圖形求出面積．解答：解：（1）當(dāng)t=4時(shí)，AP=5t=45=20（cm）．AQ=3t=34=12（cm）．∴y=AP?AQ=2012=120（cm2）．（2）延長EO交AD于F．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，又∵AB∥EF，∠B=90176。．∴四邊形ABEF是矩形，∴EF=AB=20cm，∵OE=12cm，∴OF=20﹣12=8（cm）．在Rt△EOC中，EC===16（cm）．∴BE=30﹣16=14（cm）．∴當(dāng)PQ剛好接觸點(diǎn)O時(shí)，PE=34﹣5t，F(xiàn)Q=3t﹣14，由△PEO∽△QFO，得=即，=，t=（s）．（3）分兩種情況：①當(dāng)4＜t≤，y=S梯形ABPQ=AB（BP+AQ）=20（5t﹣20+3t）80t﹣200．②當(dāng)＜t≤10時(shí)，y=S梯形AGOQ+S梯形OGBP=AG（OG+AQ）+BG?（GO+BP）=8（14+3t）+12（14+5t﹣20）=42t+20．點(diǎn)評：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形面積的計(jì)算，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．28．如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足為E、F．（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結(jié)論．（2）在（1）中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，矩形PEMF變?yōu)檎叫危瑸槭裁?？考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)推出∠A=∠D=90176。，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45176。，∠DCM=∠DMC=45176。，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．（2）根據(jù)AAS證△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．解答：（1）解：當(dāng)AD=2AB時(shí)，四邊形PEMF為矩形．證明：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90176。，∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，∴AB=AM=DM=CD，∴∠ABM=∠AMB=45176。，∠DCM=∠DMC=45176。，∴∠BMC=180176。﹣45176。﹣45176。=90176。，∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠MEP=∠FPE=90176。，∴四邊形PEMF為矩形，即當(dāng)AD=2AB時(shí)，四邊形PEMF為矩形．（2）解：當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，矩形PEMF為正方形．理由是：∵PEMF為矩形，∴∠PFM=90176。=∠PFB=∠PEC，在△BFP和△CEP中，∴△BFP≌△CEP，∴PE=PF，∵四邊形PEMF是矩形，∴矩形PEMF是正方形，即當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，矩形PEMF為正方形．點(diǎn)評：本題主要考查對矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．29．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；（2）求BF的長；（3）求折痕AF長．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）。專題：證明題。分析：（1）根據(jù)翻折變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；（2）設(shè)BF為x，分別表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．解答：（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90176。，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）解：設(shè)BF=x，則EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，F(xiàn)C=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5cm，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，以及翻折變換前后的兩個(gè)圖形全等的性質(zhì)，是綜合題，但難度不大．30．已知?ABCD的對角∠BAD和∠BCD互補(bǔ)．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若AC=x++1，BD=3+﹣x，求x的值．考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，知∠BAD和∠BCD，又因?yàn)椤螧AD和∠BCD互補(bǔ)，即可求出∠BAD的度數(shù)；（2）有意可判斷出?ABCD為矩形，得知其對角線相等，列出方程即可解答．解答：解：（1）∵?ABCD的對角∠BAD和∠BCD互補(bǔ)，又∵∠BAD=∠BCD，∴∠BCD=90176。；（2）由（1）可知，?ABCD為矩形，∴AC=BD，∴x++1=3+﹣x，∴x=1．故答案為：90176。，1．點(diǎn)評：此題不僅考查了矩形的判定，還考查了矩形的性質(zhì)，要先說它是矩形，再說它對角相等、對角線相等且互相平分．