數(shù)學(xué)提高班之——高等數(shù)學(xué)-資料下載頁(yè)
2024-08-28 14:24本頁(yè)面
【正文】 或的特點(diǎn)：有下列幾種情況需要關(guān)注：①若，則；②若，且存在，則③若，且存在， 則【例27】求下列極限：⑴== = ⑵=⑶⑷⑸【思考題13】求下列極限：⑴； ⑵；⑶； ⑷，其中題型9：“”、“”、“”型極限方法一：用對(duì)數(shù)恒等式化為，然后再化為“”型或“”型的極限；方法二：利用重要極限：或【例28】求下列極限：⑴，（“”型）； ⑵，（“”型）；⑶，（“”型）；⑷，（“”型）【思考題14】求下列極限：⑴，（“”型）； ⑵，（“”型）；⑶，（“”型）； ⑷，（“”型）；⑸，（“”型）；⑹，（“”型）；⑺，（“”型）；⑻，（“”型）；⑼，（“”型）；⑽（“”型）；題型10：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列的極限方法：①直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)有界； ②設(shè)代入給定的的表達(dá)式中，解關(guān)于的方程即為所求?！纠?9】已知，，求：（只須證明：①單調(diào)增：，歸納假設(shè)當(dāng)時(shí)，則，即；②有界：）【思考題15】⑴設(shè)數(shù)列滿足 ①證明存在，并求該極限；（） ②計(jì)算。（=）⑵設(shè)，證明存在，并求該極限。 （①有界；②單調(diào)增加：先證，然后）⑶設(shè)，證明存在，并求該極限。⑷設(shè)，證明存在。題型11：夾逼定理求極限【例30】求下列極限：⑴； ⑵，（）【思考題16】求下列極限： ⑴；⑵；（考慮的范圍：）⑶記，設(shè)試證明，并求極限。題型12：分段函數(shù)的極限方法：利用左右極限求極限或證明極限不存在【例31】求下列極限：⑴設(shè)，已知，求。⑵設(shè)，求：⑶設(shè)在處連續(xù)，試確定【思考題17】⑴設(shè)，試討論處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。⑵討論函數(shù)在處的連續(xù)性。題型13：利用泰勒公式求極限。熟記常用的基本初等函數(shù)的泰勒公式：【例32】利用泰勒公式求下列極限：⑴； ⑵；⑶； ⑷；⑸； ⑹四、綜合提高【例32】求下列極限：⑴ ；（令）⑵；（令）⑶說(shuō)明：這類極限的一個(gè)特點(diǎn)就是：被減函數(shù)與減函數(shù)的自變量的差恰為1，因此求這類極限可借助于拉格朗日中值定理來(lái)進(jìn)行?！纠?3】極限中常數(shù)的確定：（重點(diǎn)）⑴確定正數(shù)，使。⑵設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求：⑶已知，求常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)。⑷求常數(shù)，使極限存在，并求此極限。⑸設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小。說(shuō)明：這種題型在考研題中非常普遍，出題老師也比較喜歡，希望引起重視。待定常數(shù)主要通過(guò)連續(xù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、等價(jià)等概念來(lái)體現(xiàn)。【思考題18】⑴設(shè)，求常數(shù)。(a=2)⑵已知極限，求：。（）⑶設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， 若在處連續(xù)，求常數(shù)。（A=a+b）⑷試確定常數(shù)的值，使極限存在，并求該極限的值。（）⑸設(shè)，且是的可去間斷點(diǎn)，求：。（）⑹設(shè)當(dāng)時(shí)，為的3階無(wú)窮小，求常數(shù)。（）【例34】雜題⑴設(shè)，求： ① ②⑵①設(shè)，求：； ②設(shè)是三次多項(xiàng)式，且有 ，求：⑶設(shè)存在，求：?！舅伎碱}19】雜題 ⑴設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求：及 （提示：）⑵求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。⑶，（，用夾逼定理和定積分定義計(jì)算）⑷，求的值。（令）⑸已知在處可導(dǎo)，且，為自然數(shù)，求。 25
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