立體幾何知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖以及例題-資料下載頁
2025-08-18 16:48本頁面
【正文】 后用它們表示所求幾何體的表面積與體積，注意重疊部分的表面積以及挖空部分的體積的處理。第三步，計算棱錐的體積時要根據(jù)線面垂直關(guān)系，靈活選擇頂點和底面；求解不規(guī)則幾何體的表面積與體積時，則要通過“切”或“割”將幾何體分成簡單的幾何體，逐個求解，注意重疊問題以及挖空問題。 二面角問題 在高中數(shù)學立體幾何的學習中， 求二面角的大小是個重點，也是個難點。在每年的理科數(shù)學的高考試題中，求二面角的大小幾乎成了必考的知識點， 但學生卻總認為這個知識點很難，做題時不知從何處下手。因此，針對這些問題本文將對求二面角的思路模式作一個總結(jié)。 定義法作出二面角的平面角 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的空間圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角來衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線AO⊥,BO⊥，則∠AOB 為二面角 的平面角。 垂面法 過二面角棱上一點作棱的垂面，則垂面與二面角的兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補角； 垂線法 過二面角的一個半平面內(nèi)一點A作另一個半平面的垂線，再從垂足B向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面ABC，連接ABC,連接AC，則AC也與二面角或其補角，這樣就把問題歸結(jié)為解一個直角三角形，這是求解二面角的最基本、最重要的方法。 向量法二面角的大小可以由兩個半平面的法向量夾角或者是兩個半平面的法向量夾角的補角來度量（天津卷理17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（Ⅱ）求二面角的正弦值；垂線法：向量法：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點. 依題意得 （II）解：易知 設平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角A—A1C1—B的正弦值為 平面圖形翻折為空間圖形問題 把一個平面圖形按照某種要求折起, 轉(zhuǎn)化為空間圖形, 進而研究圖形在空間位置關(guān)系和數(shù)量上的變化, ： (1) 忽視平面圖形的翻折對線段的長度及其關(guān)系的影響，直接利用平面圖形中的數(shù)據(jù)進行計算，或直接利用平面圖形中的平行垂直關(guān)系進行證明，導致錯誤。 (2) 不能根據(jù)折線確定平面圖形翻折前后的不變量，尤其是平面圖形翻折后不變的垂直關(guān)系，導致空間線面關(guān)系無法證明，體積與表面積的求解失誤。 (3)不能根據(jù)平面圖形中的有關(guān)性質(zhì)判斷幾何體的有關(guān)最值。 解決平面圖形的翻折問題的關(guān)鍵是折線，折線把平面圖形分成兩部分，在這兩個平面圖形中的幾何量及其關(guān)系都是不變的，特別是這兩個平面圖形中的直線與折線的關(guān)系是不變的，與折線平行的直線，其平行關(guān)系不改變，與折線垂直的線段，翻折之后變成與折線垂直的兩條線段。而翻折后發(fā)生變化的原因是折線分成的兩部分形成了一個角度，變成了一個空間幾何體，所以要利用空間幾何中的線面關(guān)系來解決問題，不能直接利用翻折前分別在這兩部分中線段之間的關(guān)系，尤其是一些角度關(guān)系。 立體幾何有關(guān)探索性問題 立體幾何問題中的探索題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明的問題。由于這類問題的知識覆蓋面大，綜合性強，方法靈活，再加上題意新穎，要求考生具有扎實的基礎知識和較高的數(shù)學能力，從而使立體幾何探索題成為高考的一種常見題型。探索性問題一般可以分為判斷存在型、條件探索型、類比推理型、知識重組等，立體幾何中探索型問題一般以判斷存在型為主。這類問題一般的設問方式是“是否存在......，若存在......，若不存在......”。由于沒有一個明確的結(jié)論，在沒有經(jīng)過深入分析、嚴格的計算和推理論證前其存在時未知的。在解題過程中往往出現(xiàn)以下問題：（1）因不熟悉幾何體的一些結(jié)構(gòu)特征，導致幾何體中相關(guān)數(shù)據(jù)求錯。（2）對于空間幾何題中的探索性問題，不知該如何下手，而導致無法進行。 這類問題的一般解決方法是：首先假設其存在，把這個假設其存在，把這個假設作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算。在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個不合理的的結(jié)論，則說明不存在?？臻g幾何量的求解，要注意空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，特別是幾何體中的相關(guān)數(shù)據(jù)的計算與處理，這是求解的基礎。在求解的過程中可把相關(guān)的數(shù)據(jù)標注在幾何體中，防止記錯數(shù)據(jù)。；立體幾何初步（2） 空間幾何體①認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。有關(guān)空間中平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過程中經(jīng)常遇到的，而且是各種各樣的問題中不可缺少的內(nèi)容。因此在立體幾何的復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題他的分析和概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律——充分利用線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）互相轉(zhuǎn)化的思想，來提高學生的邏輯思維能力和空間想象能力。本章主要從平行與垂直證明方法的研究入手，探討立體幾何中平行與垂直證明的思路模式。下面根據(jù)對立體幾何平行問題的研究，構(gòu)建平行問題證明方法的思路模式的網(wǎng)絡圖。
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