薛丁格方程式word版-資料下載頁
2025-08-17 11:36本頁面
【正文】 的常規(guī)而設(shè)定，振幅是線性疊加的係數(shù)函數(shù)。逆反過來，係數(shù)函數(shù)可以表達為；其中，是波函數(shù)在時間的函數(shù)形式。所以，知道波函數(shù)在時間的形式，借由傅立葉變換，我們可以推演出波函數(shù)在任何時間的形式一維諧振子主條目：量子諧振子Wave functions of a quantum harmonic oscillator能量最低的八個束縛本徵態(tài)的波函數(shù)表徵 (） 。橫軸表示位置此圖未經(jīng)歸一化。在一維諧振子問題中，一個質(zhì)量為的粒子，受到一位勢此粒子的哈密頓算符為；其中，為位置。為了要找到能階以相對應的能量本徵態(tài)，我們必須找到本徵能量薛丁格方程式：我們可以在座標基底下解這個微分方程式，用到冪級數(shù)方法。可以見到有一族的解：最先八個解（n= 0到5）展示在右圖。函數(shù)為厄米多項式(Hermite polynomials) ：相應的能階為值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」(quantized)，而只能有離散的值，即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統(tǒng)的特徵。再者，可有的最低能量（當n= 0）不為零，而是，被稱為「基態(tài)能量」或零點能量。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學，一振子執(zhí)行所謂的「零振動」，且其平均動能是正值。這樣的現(xiàn)象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態(tài)能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。球?qū)ΨQ位勢主條目：球?qū)ΨQ位勢一個單粒子運動於球?qū)ΨQ位勢的量子系統(tǒng)，可以用薛丁格方程式表達為；其中，是普朗克常數(shù)，是粒子的質(zhì)量，是粒子的波函數(shù)，是位勢，是徑向距離，是能量。採用球坐標，將拉普拉斯算子展開：滿足薛丁格方程式的本徵函數(shù)的形式為：，其中，，，，都是函數(shù)。與時常會合併為一個函數(shù)，稱為球諧函數(shù)，這樣，本徵函數(shù)的形式變?yōu)椋航遣糠纸獯鹣嘁漓短祉斀呛头轿唤堑那蛑C函數(shù)，滿足角部分方程式；其中，非負整數(shù)是角動量的角量子數(shù)。（滿足）是角動量對於 z軸的（量子化的）投影。不同的與給予不同的球諧函數(shù)解答：；其中，是虛數(shù)單位，是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為；而是階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為徑向部分解答將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：設(shè)定函數(shù)代入方程式。經(jīng)過一番繁雜的運算，可以得到徑向方程式變?yōu)?；其中，有效位勢這正是函數(shù)為，有效位勢為的薛丁格方程式。徑向距離的定義域是從到新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。為了要更進一步解析，我們必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解
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