薛丁格方程式word版-資料下載頁(yè)
2025-08-17 11:36本頁(yè)面
【正文】 的常規(guī)而設(shè)定，振幅是線性疊加的係數(shù)函數(shù)。逆反過(guò)來(lái)，係數(shù)函數(shù)可以表達(dá)為；其中，是波函數(shù)在時(shí)間的函數(shù)形式。所以，知道波函數(shù)在時(shí)間的形式，借由傅立葉變換，我們可以推演出波函數(shù)在任何時(shí)間的形式一維諧振子主條目：量子諧振子Wave functions of a quantum harmonic oscillator能量最低的八個(gè)束縛本徵態(tài)的波函數(shù)表徵 (） 。橫軸表示位置此圖未經(jīng)歸一化。在一維諧振子問(wèn)題中，一個(gè)質(zhì)量為的粒子，受到一位勢(shì)此粒子的哈密頓算符為；其中，為位置。為了要找到能階以相對(duì)應(yīng)的能量本徵態(tài)，我們必須找到本徵能量薛丁格方程式：我們可以在座標(biāo)基底下解這個(gè)微分方程式，用到冪級(jí)數(shù)方法?？梢砸?jiàn)到有一族的解：最先八個(gè)解（n= 0到5）展示在右圖。函數(shù)為厄米多項(xiàng)式(Hermite polynomials) ：相應(yīng)的能階為值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」(quantized)，而只能有離散的值，即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學(xué)系統(tǒng)的特徵。再者，可有的最低能量（當(dāng)n= 0）不為零，而是，被稱為「基態(tài)能量」或零點(diǎn)能量。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學(xué)，一振子執(zhí)行所謂的「零振動(dòng)」，且其平均動(dòng)能是正值。這樣的現(xiàn)象意義重大但並不那麼顯而易見(jiàn)，因?yàn)橥ǔＤ芰康牧泓c(diǎn)並非一個(gè)有意義的物理量，因?yàn)榭梢匀我膺x擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態(tài)能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個(gè)理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問(wèn)題那樣。球?qū)ΨQ位勢(shì)主條目：球?qū)ΨQ位勢(shì)一個(gè)單粒子運(yùn)動(dòng)於球?qū)ΨQ位勢(shì)的量子系統(tǒng)，可以用薛丁格方程式表達(dá)為；其中，是普朗克常數(shù)，是粒子的質(zhì)量，是粒子的波函數(shù)，是位勢(shì)，是徑向距離，是能量。採(cǎi)用球坐標(biāo)，將拉普拉斯算子展開(kāi)：滿足薛丁格方程式的本徵函數(shù)的形式為：，其中，，，，都是函數(shù)。與時(shí)常會(huì)合併為一個(gè)函數(shù)，稱為球諧函數(shù)，這樣，本徵函數(shù)的形式變?yōu)椋航遣糠纸獯鹣嘁漓短祉斀呛头轿唤堑那蛑C函數(shù)，滿足角部分方程式；其中，非負(fù)整數(shù)是角動(dòng)量的角量子數(shù)。（滿足）是角動(dòng)量對(duì)於 z軸的（量子化的）投影。不同的與給予不同的球諧函數(shù)解答：；其中，是虛數(shù)單位，是伴隨勒讓德多項(xiàng)式，用方程式定義為；而是階勒讓德多項(xiàng)式，可用羅德里格公式表示為徑向部分解答將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個(gè)一維的二階微分方程式：設(shè)定函數(shù)代入方程式。經(jīng)過(guò)一番繁雜的運(yùn)算，可以得到徑向方程式變?yōu)?；其中，有效位?shì)這正是函數(shù)為，有效位勢(shì)為的薛丁格方程式。徑向距離的定義域是從到新加入有效位勢(shì)的項(xiàng)目，稱為離心位勢(shì)。為了要更進(jìn)一步解析，我們必須知道位勢(shì)的形式。不同的位勢(shì)有不同的解
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