【正文】 圓截面半徑，截面面積，旋轉體的體積4．旋轉體的側面積及表面積求由連續(xù)曲線軸及直線所圍平面圖形繞x軸旋轉所形成的旋轉體的側面面積（圖528）。將所求旋轉體的側面積看成分布在區(qū)間上。圖528（1）選取區(qū)間，把該區(qū)間的側面積看成上底半徑為，下底半徑為，母線為曲線弧長的圓臺的側面積，因此，由圓臺側面積公式有即又可簡單地看作一圓柱體的側面積，該圓柱體的底圓半徑為，高（2）得微分（3）計算積分注意：圓柱體的高不能看成，否則，由于一般情況下不為0（當時，），即因此，我們計算的近似值時，要利用已知的關系，盡可能的精確。例89 設有曲線，過原點作其切線，求由此曲線，切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所得到的旋轉體的表面積。解 設切點為，則過原點的切線方程為再以點代入，解得，則上述切線方程為圖529由曲線繞x軸旋轉一周所得到的旋轉面的面積由直線段繞z軸旋轉一周所得到的旋轉面的面積因此，所求旋轉體的表面積為.例90 求曲線繞Ox軸旋轉所成曲面的面積.解 .例91 計算半徑為R的球面的面積（圖530）。解 半徑為R的球面可以看成圓所圍圖530成的平面圖形繞x軸旋轉所形成旋轉體的側面積。由于，于是5．平面曲線的弧長若給定曲線弧的方程為，其中，在上連續(xù)，且，則曲線弧是可求長的。其弧長s可表示為（1）若曲線方程由給出，這時代入（式1），得曲線弧的長為（2）若曲線方程由給出，這時代入（式1），得曲線弧的長為（3）若曲線方程由給出，把極坐變換化為參數(shù)方程由于于是弧長微分公式若選定點為度量弧長的起點。為弧上一點，設弧的長為s，顯然弧長s是t的函數(shù)這里規(guī)定：當時，s取正值；當時，s取負值。則當t增加時s也增加，因此是嚴格增函數(shù)。對積分上限求導，得從這里也可以看出是增函數(shù)，改寫成微分形式，即得弧長的微分公式若曲線方程則若曲線方程則若曲線方程則由于所以它的幾何意義是：當自變量x增加到時，相應的曲線段增量的切線長（圖531）圖531例92 計算圓的周長。解 將圓的方程化成參數(shù)方程則例93 計算曲線的弧長。解 所求曲線的弧長為例94 計算內(nèi)擺線的周長。解法一 由于曲線關于x軸及y軸對稱，所以，只需計算第一象限內(nèi)曲線的長，再乘以4即得所求。不妨設，得解法二 把曲線化為參數(shù)方程在第一象限的參數(shù)，于是因此6．定積分在物理中的應用（僅適合數(shù)學一、二）①液體的靜壓力在設計水庫的閘門、管道的閥門時，常常需要計算油類或者水等液體對它們的靜壓力，這類問題也可用定積分進行計算。例95 一圓柱形水管半徑為1m，若管中裝水一半，求水管閥門一側所受的靜壓力。圖532解 取坐標系如圖532，此時變量x表示水中各點深度，它們的變化區(qū)間是，圓的方程為由物理知識，對于均勻受壓的情況，壓強P處處相等。要計算所求的壓力，可按公式 壓力=壓強面積計算，但現(xiàn)在閘門在水中所受的壓力是不均勻的，壓強隨著水深度x的增加而增加，根據(jù)物理學知識，有，其中是水的密度，是重力加速度。因此要計算閘門所受的水壓力，不能直接用上述公式。但是，如果將閘門分成若干個水平的窄條，由于窄條上各處深度x相差很小，壓強可看成不變。從而1．選取深度小區(qū)間，在此小區(qū)間閘門所受到的壓力為，則2．得微分3．定積分②功：例96 設有一直徑為20m的半球形水池，池內(nèi)貯滿水，若要把水抽盡，問至少作多少功。圖533解 本題要計算克服重力所作的功。要將水抽出，池中水至少要升高到池的表面。由此可見對不同深度x的單位質(zhì)點所需作的功不同，而對同一深度x的單位質(zhì)點所需作的功相同。因此如圖533建立坐標系，即Oy軸取在水平面上，將原點置于球心處，而Ox軸向下（此時x表示深度）。這樣，半球形可看作曲線在第一象限中部分繞Ox軸旋轉而成的旋轉體，深度x的變化區(qū)間時。因同一深度的質(zhì)點升高的高度相同，故計算功時，宜用平行于水平面的平面截半球面成的許多小片來計算。1．選取區(qū)間，相應的體積所以抽出這層水需作的功其中是水的密度，是重力加速度。2．得微分3．例97 為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（見圖）。已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m/s，在提升過程中，污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉?，F(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？（說明：①1N1m=1J；m, N, s, J分別表示米，牛頓，秒，焦耳。②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計。）解 作x軸如圖所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口需作功圖534其中是克服抓斗自重所作的功；是克服纜繩重力所作的功；為提出污泥所作的功。由題意知將抓斗由x處提升到處，克服纜繩重力所作的功為從而 在時間間隔內(nèi)提升污泥需作功為將污泥從井底提升至井口共需時間，所以因此，共需作功 ③引力例98 計算半徑為a，密度為，均質(zhì)的圓形薄板以怎樣的力吸引質(zhì)量為m的質(zhì)點P。此質(zhì)點位于通過薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直線上，最短距離PQ等于b（圖535）。解 取坐標系如圖534。由于平面薄板均質(zhì)且關于兩坐標軸對稱，P在圓心的中垂線上，顯然引力在水平方向的分力為0，在垂直方向的分力指向y軸的正向，所求的引力F看成分布在區(qū)間上。1．選取區(qū)間，對于以x為內(nèi)半徑的圓環(huán)，其質(zhì)量，對質(zhì)點P的引力 2．得微分3．積分因此，方向指向y軸的正向。圖535 圖536例99 求兩根位于同一直線上的質(zhì)量均勻的細桿間的引力（設密度為，二桿相距為a且兩桿長都是，引力常數(shù)為k）解 如圖536所示，取原點，使兩桿位于x軸，并且關于原點對稱，分左右兩桿，右桿位于x處，桿長微元為dx，左桿位于y處桿長微元為dy，此兩微元間的引力為其中為桿的線密度為常數(shù)，于是右桿對左桿上微元dy的引力為再將上式y(tǒng)視為變量從到積分，使得兩桿間的引力 ④轉動慣量例100 求長為，線密度（單位長度質(zhì)量）為常數(shù)的場質(zhì)細桿繞y軸轉動的轉動慣量。圖537解 如圖建立坐標系，所求的轉動慣量J分在區(qū)間上。1．選取，由轉動慣量公式，得2．由于細桿的質(zhì)量，所以四、廣義積分定義 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱記號 （1）為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分（或第一類廣義積分）若（1）式右端極限存在，稱廣義積分收斂，該極限值稱為廣義積分的值，否則稱廣義積分發(fā)散。由在連續(xù)必有原函數(shù)，設的原函數(shù)為。于是從而廣義積分可以按照正常定積分計算方式來計算，即若（存在）=A，則收斂，且若不存在，則發(fā)散。同理可得 若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。若，都存在，則收斂，否則發(fā)散。定義 設在區(qū)間上連續(xù)，不存在（稱a點為瑕點），且，稱記號與上面研究方式相同，可得若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。同理若在上連續(xù)，不存在（稱b點為瑕點），有若在上連續(xù)，不存在（稱c點為瑕點），定義當且僅當都收斂時，收斂，且值等于的值之和。注：若在上連續(xù)，（常數(shù)），則可看成正常積分，事實上，定義知在上連續(xù)，即存在，而，由于在上連續(xù)，知變下限函數(shù)在上連續(xù)，有，即故可看成正常積分。若廣義積分收斂，也有線性運算法則，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運算。第一p廣義積分（a0，常數(shù)）.當時，當時， 知時收斂，時發(fā)散第二p廣義積分.令，有由第一p廣義積分知，當，即時收斂，當，即時發(fā)散。例101 求.解 原式=例102 計算解 注意到被積分函數(shù)內(nèi)有絕對值號且是其瑕點，故原式=例103 求.解 原式=例104 計算解 由不存在，此時也可看成瑕點，于是例105 計算解 設于是令從而得，即208