[工學(xué)]現(xiàn)代控制理論第四章-資料下載頁
2024-08-26 01:20本頁面
【正文】 表示溫度梯度，它描述了三維空間中溫度場(chǎng)的變化情況。2. 矢量的曲線積分，——表示積分路徑，任意矢量沿給定曲線的積分可用曲線積分。矢量沿曲線的積分只決定于積分路徑起點(diǎn)與終點(diǎn)的位置，積分與路徑無關(guān)。如從原點(diǎn)出發(fā)，沿任意積分路徑到達(dá)，其積分結(jié)果都相同。3. 矢量的旋度在三維空間中，設(shè)矢量用三個(gè)分量表示為： 則矢量的旋度也是具有三個(gè)分量的矢量，定義是： 若旋度為零，即，可得旋度方程： ，變量梯度法，若旋度為零，則的曲線積分與積分路徑無關(guān)；反之亦然。設(shè)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的。假設(shè)是矢量的標(biāo)量函數(shù)，但不是時(shí)間的顯函數(shù)，有： 或?qū)懗桑?確定與的關(guān)系。舒茨和基布遜提出：先假定為某一形式，譬如一個(gè)待定系數(shù)的維矢量。 （428）然后根據(jù)為負(fù)定（或半負(fù)定）的要求確定系數(shù)，再由這個(gè)通過下列線積分來導(dǎo)出。即： （429）它是對(duì)整個(gè)狀態(tài)空間中任意點(diǎn)的線積分。這個(gè)線積分可以做到與積分路徑無關(guān)。最簡(jiǎn)單的積分路徑是采用以下逐點(diǎn)積分法： （430）設(shè)單位矢量：, , …, （431）式（4－30）中的積分路徑是從坐標(biāo)原點(diǎn)開始，沿著到達(dá)，再由這沿著到達(dá)，……，最后沿著到達(dá)。為了使式（4－29）的線積分與積分路徑無關(guān)，必須保證的梯度為零。要求滿足維廣義旋度方程： , （432）由所組成的雅可比矩陣： （433）必須是對(duì)稱的。對(duì)維系統(tǒng)應(yīng)該有個(gè)旋度方程。例：應(yīng)該三個(gè)方程：， ， 由式（4－30）求得的，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果當(dāng)時(shí)，有，則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。應(yīng)用變量梯度法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟歸納如下：1. 按式（4－28）設(shè)定，式中的待定系數(shù)，可能就是常數(shù)或者時(shí)間的函數(shù)，或者狀態(tài)變量的函數(shù)。顯然不同的系數(shù)選擇法可能求出不同的。常把選成常數(shù)或時(shí)間的函數(shù)是方便的。有些可選為零，或者根據(jù)的約束條件和旋度要求來選擇。2. 由按式 確定 。3. 根據(jù)是負(fù)定或至少是半負(fù)定并滿足個(gè)旋度方程的條件，確定中余下的未知系數(shù)，由此得出的，可能會(huì)改變第二步算的，因此要重新校核的定號(hào)性質(zhì)。4. 由式（4－30）確定。5. 校核是否滿足當(dāng)時(shí)，有的條件或確定使為正定的穩(wěn)定性范圍。如果用上述方法求出不合適的，那也不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。例：試用變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng) 的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：設(shè)的梯度為： 選擇參數(shù)，試選， ∴ 如果使 或，則是負(fù)定的，因此，是和的約束條件。于是得：顯然滿足旋度方程：，即。這表明上述選擇的參數(shù)是允許的。計(jì)算：是正定的。因此范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。為了說明李亞普諾夫函數(shù)選擇的非唯一性，再選參數(shù)： ， ， ， 欲使為負(fù)定，則可?。杭矗候?yàn)證是否滿足旋度方程：計(jì)算：在約束條件下，是正定的；在范圍內(nèi)系統(tǒng)在是漸近穩(wěn)定的。上述分析表明，即使對(duì)同一系統(tǒng)，當(dāng)選擇不同的參數(shù)時(shí)，所得到的李亞普諾夫函數(shù)不同，因而漸近穩(wěn)定區(qū)域的范圍也不同。顯然前者選取的比后者要好，圖（4－9）所示陰影區(qū)域表示在條件下的穩(wěn)定范圍比前者窄的多。157
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