【正文】 于是得：顯然滿足旋度方程：，即。為了使式（4－29）的線積分與積分路徑無(wú)關(guān)，必須保證的梯度為零。作業(yè)：41，42，43（1），46，48，49，411二、 變量梯度法（ShultzGibson）變量梯度法也叫舒茨－基布遜法，變量梯度法是即找到一個(gè)特定的李氏函數(shù)，能夠證明所給系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，那么李氏函數(shù)的梯度必定存在且唯一。 設(shè)系統(tǒng)為：式中為維向量。取，系統(tǒng)穩(wěn)定 二、 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ，為常系數(shù)非奇異矩陣。在原點(diǎn)處為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定⑦不穩(wěn)定例：注：， ， 選， (418)確定處不穩(wěn)定。②若負(fù)定，則稱負(fù)定。 例：。例：設(shè)系統(tǒng)方程：，分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。4－2李亞普諾夫第一法通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （4－7）當(dāng)很小時(shí)，則稱為的鄰域。系統(tǒng)的穩(wěn)定性—表示系統(tǒng)在遭受外界擾動(dòng)偏離原來(lái)的平衡狀態(tài)，而在擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)在原來(lái)的平衡狀態(tài)。例： （45）有三個(gè)平衡狀態(tài)：，線性系統(tǒng)（定常）只有一個(gè)平衡點(diǎn)，非線性時(shí)變系統(tǒng)等有多個(gè)平衡點(diǎn)，應(yīng)分別討論。②若不僅有界，而且有收斂于原點(diǎn)，則稱漸近穩(wěn)定。②如果的特征值，至少有一個(gè)實(shí)部為零，系統(tǒng)處于臨界情況。在域中的任何非零矢量，如果成立：（1），稱為正定的。 ， (416)設(shè)矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣， 為由所決定的二次型函數(shù)。⑥不恒為零，這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡只在某個(gè)時(shí)刻與某個(gè)特定的曲面 相切，運(yùn)動(dòng)軌跡通過(guò)切點(diǎn)后并不停留而繼續(xù)向原點(diǎn)收斂，這種情況仍屬于漸近穩(wěn)定。因此在原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例如大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的，而局部不穩(wěn)定并不能說(shuō)明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例：利用克拉索夫斯基定理來(lái)確定下式平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。即： （429）它是對(duì)整個(gè)狀態(tài)空間中任意點(diǎn)的線積分。如果用上述方法求出不合適的，那也不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。因此范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。例：應(yīng)該三個(gè)方程：， ， 由式（4－30）求得的，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。梯度是與矢量同維數(shù)的矢量。如果，則系統(tǒng)在是大范圍漸近穩(wěn)定。(420)由于選為正定的，為負(fù)定的。一、 設(shè)線性定常系統(tǒng)： 的平衡點(diǎn)，（為狀態(tài)矢量，為常系數(shù)矩陣，假設(shè)是系數(shù)矩陣）。矩陣的符號(hào)性質(zhì)與由其決定的二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)完全一致，因此要判別的符號(hào)只需判別的符號(hào)即可。（4），稱為半負(fù)定的（或非正定）。同理：在處線性化：，特征值為，實(shí)部為0，用線性方法沒(méi)結(jié)論，用第二法判別。系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性稱為內(nèi)部穩(wěn)定性，工程中更注重系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。1. 對(duì)式（4－1）描述的系統(tǒng)對(duì)于任意選定的實(shí)數(shù)，卻對(duì)應(yīng)存在另一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足： ， （4－9）則稱平衡狀態(tài)為李氏意義下的穩(wěn)定，其中實(shí)數(shù)與有關(guān)，一般也與有關(guān)，如果與無(wú)關(guān)，稱這種平衡為一致穩(wěn)定。4－1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動(dòng)無(wú)關(guān)。若系統(tǒng)式（4－1）存在狀態(tài)矢量，對(duì)所有，都使： （4－3）