[工學(xué)]現(xiàn)代控制理論第四章(文件)
【正文】 致的。如果，則系統(tǒng)在是大范圍漸近穩(wěn)定。如果中不含，那么主對角線上相應(yīng)的元素必須恒為零，則就不可能是正定的，因而也就不可能是漸近穩(wěn)定的。相當(dāng)多的非線性系統(tǒng)未必能夠滿足這個(gè)要求。當(dāng)時(shí)，有所以，系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定。梯度是與矢量同維數(shù)的矢量。如從原點(diǎn)出發(fā)，沿任意積分路徑到達(dá)，其積分結(jié)果都相同。舒茨和基布遜提出：先假定為某一形式，譬如一個(gè)待定系數(shù)的維矢量。最簡單的積分路徑是采用以下逐點(diǎn)積分法： （430）設(shè)單位矢量：, , …, （431）式（4－30）中的積分路徑是從坐標(biāo)原點(diǎn)開始，沿著到達(dá)，再由這沿著到達(dá)，……，最后沿著到達(dá)。例：應(yīng)該三個(gè)方程：， ， 由式（4－30）求得的，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。常把選成常數(shù)或時(shí)間的函數(shù)是方便的。4. 由式（4－30）確定。解：設(shè)的梯度為： 選擇參數(shù)，試選， ∴ 如果使 或，則是負(fù)定的，因此，是和的約束條件。因此范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。157。上述分析表明，即使對同一系統(tǒng)，當(dāng)選擇不同的參數(shù)時(shí)，所得到的李亞普諾夫函數(shù)不同，因而漸近穩(wěn)定區(qū)域的范圍也不同。這表明上述選擇的參數(shù)是允許的。如果用上述方法求出不合適的，那也不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。2. 由按式 確定 。應(yīng)用變量梯度法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟歸納如下：1. 按式（4－28）設(shè)定，式中的待定系數(shù)，可能就是常數(shù)或者時(shí)間的函數(shù)，或者狀態(tài)變量的函數(shù)。要求滿足維廣義旋度方程： , （432）由所組成的雅可比矩陣： （433）必須是對稱的。即： （429）它是對整個(gè)狀態(tài)空間中任意點(diǎn)的線積分。設(shè)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的。2. 矢量的曲線積分，——表示積分路徑，任意矢量沿給定曲線的積分可用曲線積分。 gradient——梯度；divergence——散度；rotation——旋度。例：利用克拉索夫斯基定理來確定下式平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。這時(shí)有： 其中： （4－27）上述兩種方法是等價(jià)的。當(dāng)時(shí)，尚有，則系統(tǒng)在原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。假設(shè),對是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為： （421）系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是，任意給定實(shí)對稱矩陣，使得下列矩陣： （422）為正定的。例如大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的，而局部不穩(wěn)定并不能說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 ， ， 取 ， ，使為正定的實(shí)對稱矩陣，和。如果沿任一解的序列不恒為零，那么亦可取半正定的。平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定的正定實(shí)對稱矩陣，必存在一個(gè)正定對稱矩陣。因此在原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。④上述判據(jù)所確定的條件與矩陣的特征值具有負(fù)實(shí)部的條件等價(jià)。沿軌跡的導(dǎo)數(shù)為： (4－19) 欲使系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，則要求必須為負(fù)定： ，式中為正定的。167。⑥不恒為零，這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡只在某個(gè)時(shí)刻與某個(gè)特定的曲面 相切，運(yùn)動(dòng)軌跡通過切點(diǎn)后并不停留而繼續(xù)向原點(diǎn)收斂，這種情況仍屬于
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