[工學]現(xiàn)代控制理論第四章-wenkub.com
2024-08-24 01:20 本頁面
【正文】 顯然前者選取的比后者要好，圖（4－9）所示陰影區(qū)域表示在條件下的穩(wěn)定范圍比前者窄的多。計算：是正定的。例：試用變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng) 的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。3. 根據(jù)是負定或至少是半負定并滿足個旋度方程的條件，確定中余下的未知系數(shù)，由此得出的，可能會改變第二步算的，因此要重新校核的定號性質(zhì)。顯然不同的系數(shù)選擇法可能求出不同的。對維系統(tǒng)應(yīng)該有個旋度方程。這個線積分可以做到與積分路徑無關(guān)。假設(shè)是矢量的標量函數(shù)，但不是時間的顯函數(shù)，有： 或?qū)懗桑?確定與的關(guān)系。矢量沿曲線的積分只決定于積分路徑起點與終點的位置，積分與路徑無關(guān)。1. 標量函數(shù)的梯度設(shè)為矢量的標量函數(shù)，那么沿矢量方向的變化率就是的梯度。 解：， 取， ，表明對于，為正定。對所有，要求為正定這個條件過嚴。顯然，要使為正定，必須使主對角線上的所有元素不恒為零。并且： （423）是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。李氏第二法只給出判斷非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定的充分條件，而不是必要條件。只有當系統(tǒng)的極點落在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)的平衡點處才是大范圍漸近穩(wěn)定的。實際上，、矩陣滿足上述條件與矩陣的特征值的絕對值小于1的條件完全等價，因而也是充要的。假設(shè)一個可能的李氏函數(shù)為：我們采用與之差來代替。而李氏函數(shù)為： 是正定的，所以。因而判據(jù)所給出的條件是充分必要的，因為設(shè)（或通過變換），若取，,顯然只有當全為負值時，才是正定的。應(yīng)用該判據(jù)時應(yīng)注意以下幾點：①如果沿任意一條軌跡不恒等于零，那么可取半正定的。4－4李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 李亞普諾夫第二法不僅用于分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且對于線性時變及線性離散系統(tǒng)也能給出相應(yīng)的穩(wěn)定性判據(jù)。 例：，選，當，,在時，不恒等于零；當，時，是狀態(tài)軌跡與圓相切的某一時刻上。 選，則。③若，則（或）為半正定的。記作④若半負定，則稱半負定。注：必須為正交矩陣，才有。因為有，而且當時，也使，因此為半正定。 例：。 例：。 例：。對于一個給定系統(tǒng)，如果找到一個正定的標量函數(shù)，是負定的，則這個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，叫做李亞普諾夫函數(shù)。注：在處。在處線性化：，不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于高階導數(shù)項，而不能由矩陣的特征值符號來確定。二、 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (411)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，為平衡狀態(tài)。例： 解：① 特征值，故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。一、 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)， (410)的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是陣所有特征值均具有負實部。③若無界，則稱不穩(wěn)定。4. 不穩(wěn)定對于某個實數(shù)和任意實數(shù)，不管多么小，由內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過，則稱這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定區(qū)域越大，穩(wěn)定性能就越好。若式（4－1）的解：， （4－8）則式（4－8）表明齊次方程式（4－1）由初態(tài)或短暫擾動所引起的自由響應(yīng)是有界的。李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性：若用表示狀態(tài)矢量與平衡狀態(tài)的距離，用包含所有各點的一個球域表示以為中心
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